Demostrar x,y E con x+ y diferente k(pi/2) y k E

Esta es la típica fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos. Para demostrarla es necesario usar las formulas del seno de la suma de dos ángulos y del coseno de la suma de dos ángulos que las pongo al principio.

$$\begin{align}&&sen(x+y) = senx·cosy + cosx·seny\\ &\\ &\cos(x+y) = cosx·cosy - senx·seny\\ &\\ &tg(x+y) =\frac{senx·cosy + cosx·seny}{cosx·cosy - senx·seny}=\\ &\\ &\\ &\text{Y el truco es dividir todos entre cosx·cosy}\\ &\\ &\\ &\frac{\frac{senx·cosy}{cosx·cosy} + \frac{cosx·seny}{cosx·cosy}}{\frac{cosx·cosy}{cosx·cosy} - \frac{senx·seny}{cosx·cosy}}=\\ &\\ &\\ &\frac{\frac{senx}{cosx} + \frac{seny}{cosy}}{1 - \frac{senx}{cosx}·\frac{seny}{cosy}}=\\ &\\ &\\ &\frac{tgx+tgy}{1-tgx·tgy}\end{align}$$

Por otra parte, las condiciones que han puesto son excesivas, ya que desechan los ángulos 0, pi/2, pi y 3pi/2 en el primer cuadrante, pero en 0 y pi existe tangente que es 0.

La condición buena sería

x+y distinto de pi/2 + k·pi, con k € Z

Y eso es todo.