Solución ejercicio 4 pagina 337

El área como integral doble se obtiene integrando la función constante 1 en el dominio del área.

La ecuación de la elipse es

$$\begin{align}&\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1\\ &\\ &\text{puesto como función de x es}\\ &\\ &y= \sqrt{b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)}=\pm \frac ba \sqrt{a^2-x^2}\\ &\\ &\text{Por simetría tomaremos el area del primer} \\ &\text{cuadrante y la multiplicaremosa por 4 }\\ &\\ &A=4\int_0^a\int_0^{\frac ba \sqrt{a^2-x^2}}dydx=\\ &\\ &\\ &4\int_0^a \frac ba \sqrt{a^2-x^2}dx=\\ &\\ &\\ &\frac{4b}{a}\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}dx=\\ &\\ &\\ &x=a·sent  \quad dx=a·cost\\ &t=arcsen \frac xa\\ &\\ &x=0\implies t=0\\ &x=a \implies t=\frac {\pi}{2}\\ &\\ &=\frac{4b}{a}\int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2-a^2sen^2t}\;\,(a·\cos t)\;dt=\\ &\\ &\frac{4b}{a}\int_0^{\pi/2}a^2cos^2t\,dt=\\ &\\ &\\ &4ab\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1+\cos 2t}{2}\right)dt=\\ &\\ &4ab\left[\frac t2+\frac{sen\, 2t}{4}  \right]_0^{\pi/2}=\\ &\\ &4ab\left(\frac{\pi}{4}+\frac 04-\frac 02-\frac 04\right)= \pi ab\end{align}$$

Y eso es todo.