Paseando por l'eixample
Hola,
A ver si me explico:
Para ir del punto (0,0) al (1,1) puedo hacerlo:
en un sólo "escalón": de (0,0) a (1,0) y de (1,0) a (1,1), en cuyo caso la distancia final es 1+1=2
en dos "escalones": de (0,0) a (0,0.5), de (0,0.5) a (0.5,0.5), de (0.5,0.5) a (1,0.5) y de (1,0.5) a (1,1), en cuyo caso la distancia final es 0.5+0.5+0.5+0.5=2
o, en resumen, en n "escalones" siendo la distancia recorrida 2n tramos multiplicado por la la longitud de cada tramo (1/n).
En el límite, cuando n tiende a infinito (sin escalones, sino en diagonal), sin embargo, resulta que la distancia recorrida no es 2 sino 2^0.5.
¿Me lo puede explicar alguien?
Gracias
A ver si me explico:
Para ir del punto (0,0) al (1,1) puedo hacerlo:
en un sólo "escalón": de (0,0) a (1,0) y de (1,0) a (1,1), en cuyo caso la distancia final es 1+1=2
en dos "escalones": de (0,0) a (0,0.5), de (0,0.5) a (0.5,0.5), de (0.5,0.5) a (1,0.5) y de (1,0.5) a (1,1), en cuyo caso la distancia final es 0.5+0.5+0.5+0.5=2
o, en resumen, en n "escalones" siendo la distancia recorrida 2n tramos multiplicado por la la longitud de cada tramo (1/n).
En el límite, cuando n tiende a infinito (sin escalones, sino en diagonal), sin embargo, resulta que la distancia recorrida no es 2 sino 2^0.5.
¿Me lo puede explicar alguien?
Gracias
Respuesta de lowpass
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No es verdad que el límite sea raíz(2). Esto es porque estás tomando escalones más pequeños, pero siempre escalones. La "escalera" es siempre una línea quebrada; nunca llega a degenerar en una recta diagonal.
Como bien dices, la distancia recorrida en un número n de escalones es 2n/n. Este resultado siempre es igual a 2.
Es cierto que el dibujo cada vez se parece más a una línea diagonal, pero es sólo un efecto óptico. El límite es una quebrada con infinitos escalones, de longitud total igual a 2.
Como bien dices, la distancia recorrida en un número n de escalones es 2n/n. Este resultado siempre es igual a 2.
Es cierto que el dibujo cada vez se parece más a una línea diagonal, pero es sólo un efecto óptico. El límite es una quebrada con infinitos escalones, de longitud total igual a 2.
Si quieres otra paradoja parecida, te propongo la del copo de nieve.
Dibuja un triángulo equilátero de lado 1. Su perímetro será 3.
Ahora divide cada lado en 3 partes iguales y usa la central como base para un triángulo equilátero de lado 1/3. La figura completa que resulta tiene 12 lados de longitud 1/3, que dan perímetro 4 (compruébalo en papel).
Repite la operación otra vez y tendrás 12*4=48 lados de longitud 1/9. Sigue repitiéndola tantas veces como quieras, y el perímetro seguirá creciendo sin cota... ¡Puedes hacer que la línea sea tan larga como de la Tierra a la Luna mientras que ocupa la superficie de una hoja de papel!
Dibuja un triángulo equilátero de lado 1. Su perímetro será 3.
Ahora divide cada lado en 3 partes iguales y usa la central como base para un triángulo equilátero de lado 1/3. La figura completa que resulta tiene 12 lados de longitud 1/3, que dan perímetro 4 (compruébalo en papel).
Repite la operación otra vez y tendrás 12*4=48 lados de longitud 1/9. Sigue repitiéndola tantas veces como quieras, y el perímetro seguirá creciendo sin cota... ¡Puedes hacer que la línea sea tan larga como de la Tierra a la Luna mientras que ocupa la superficie de una hoja de papel!
