Determine las tangentes horizontales y las simetrías de la curva dada por r = 1 - 2cos(cita).

En coordenadas cartesianas es bien sencillo calcular las tangentes horizontales, son las de los puntos donde la derivada de y respecto de x es cero. Pero aquí la derivada de r respecto de cita no tiene la misma interpretación que en cartesianas.

Para calcular pendientes primero vamos a parametrizar la curva

x(cita) = r(cita)·cos(cita)

y(cita) = r(cita)·sen(cita)

y la pendiente es

$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d\theta}\div \frac{dx}{d\theta}=\frac{y'(\theta)}{x'(\theta)}=\\ &\\ &\\ &\frac{r'(\theta)sen\theta +r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)sen\theta}\end{align}$$

y esta pendiente es horizontal cuando el numerador es cero

r'(cita)·sen(cita) + r(cita)cos(cita) = 0

2sen(cita)·sen(cita) + [1-2cos(cita)]cos(cita)=0

2sen^2(cita) + cos(cita) - 2cos^2(cita) = 0

sumamos y restamos 2

2 - 2 + 2sen^2(cita) + cos(cita) - 2cos^2(cita) = 0

2 + 2[-1+sen^2(cita)] + cos(cita) - 2cos^2(cita) = 0

2 + 2 [-cos^2(cita)] + cos(cita) - 2cos^2(cita) = 0

-4cos^2(cita) + cos(cita) + 2 = 0

4cos^2(cita) - cos(cita) - 2 = 0

cos(cita) = [1 +- sqrt(1+32)] / 8

hay dos respuestas

cos(cita) = [1 + sqrt(33)] / 8

cos(cita) = [1 - sqrt(33)] / 8

La pena es que no son ángulos famosos voy a dejarlo así

Si quieres tira de calculadora y los calculas

Tenemos simetría respecto al eje X ya que para ángulos simétricos respecto el eje X (los que suman 2pi) el modulo es el mismo

r(cita) = 1 - 2cos(cita)

r(2pi - cita) = 1 - 2cos(2pi - cita) = 1 - 2cos(cita)

Y eso es todo.