Me ayudas con esto: Demostrar [r*,r] ?1 y que [r,r*] ?-1
Nota: Estoy trabajando con los enteros pero construidos usando los números naturales y clases de equivalencia .
1 Respuesta
Tendriás que explicarme que significan los corchetes, los asteriscos y cual es el símbolo que aparece como una interrrogación. Es que según que se estudia tienen significados distintos. Y aparte creo que necesitaría el libro porque hay cosas que sin el libro no tienen sentido, esto no es una rama de las más asentadas yo no sé qué enfoque le da el autor.
El libro es álgebra moderna de Ayres Frank
Los corchetes indican que es una clase de equivalencia, r*=r+1 (el siguiente de r) y el signo de interrogación se suponía que era una flecha biyectiva....como te comentaba son los enteros definidos usando los naturales y clases de equivalencia...en este ejercicio se quiere probar que el número 1 se dfine como [r*,r] y que el -1 es [r,r*]
Veamos que
[r*, r] = [1, 0]
para ello hay que ver que
(r*, r) ~ (1,0)
La relación de equivalencia era
(s, m) ~ (t, n) <==> s+n= t+m
nosotros tenemos
r*+0 =r+1
r* = r+1
cosa que es cierta por definición de sucesor,
luego (r*, r) ~ (1,0)
y ahora comprobamos que (1,0) ~(2,1)
1+1 = 0+2
Luego
(r*, r) ~ (1, 0) ~ (2,1)
por se equivalentes
[r*, r] = [2, 1]
Y por definición es [n*, 1] <--> n
[r*, r] = [2, 1] = [1*,1] <--> 1
--------
Dado n <-->[p, q] se denota -n como el opuesto -n <--> [q, p]
Ya que tenemos
1 <--> [r*, r]
se deduce
-1 <--> [r, r*]
Y yo creo que eso es todo.
Espera, ahora que lo miro bien (porque yo no recordaba haber estudiado esta teoría) veo que está mal porque el elemento (1,0) no pertenece a NxN que es el punto de partida.
Ahora lo corrijo.
Entonces tendremos que ver que
[r*, r] = [2, 1]
ello será así si
(r*, r) ~ (2, 1)
y esto sucederá si
r*+1 = r+2
por la definición de suma tenemos que n+m* = (n+m)*
como 2 = 1* el lado derecho es
r+2 = r+1* = (r+1)*
Y en el lado derecho
r* + 1 = (r+1)*
Luego se cumple
r*+1 = r+2
por tanto
(r*, r) ~ (2,1)
y [r*, r] = [2, 1] = [1*, 1] =
y la definición de la aplicación de las clases en N es [n*, 1] <--> n, luego
[1*, 1] <--> 1
Luego en resumen
[r*, r] <--> 1
-----------
La segunda parte es igual que antes.
