Evaluar la integral definida

Qué raro que pongan x en el numerador y x^2 en el denominador, lo normal es darlo ya simplificado. Espero no haya una errata. De todas formas el cambio esta claro que tiene que ser t=lnx

Además cambiaremos los límites de integración conforme hagamos el cambio, por lo que no será necesario deshacer el cambio al final para evaluar

$$\begin{align}&\int_e^{e^2}\frac{x}{x^2\sqrt{4lnx}}dx=\\ &\\ &\int_e^{e^2}\frac{dx}{x\sqrt{4lnx}}=\\ &\\ &t=ln\,x\\ &dt =\frac{dx}{x}\\ &x=e\implies t=1\\ &x=e^2 \implies t=2\\ &\\ &\int_1^2 \frac{dt}{\sqrt{4t}}=\int_1^2 \frac{dt}{2 \sqrt t}=\\ &\\ &\sqrt t\, |_1^2= \sqrt 2 -1\end{align}$$

Y eso es todo.