Tengo una dudaCuál es la razón entre ...
si: A/B = C/D y
A + C = 56 y
B - D = 12
hallar la razón.
1 respuesta
Hay tres ecuaciones y cuatro incógnitas. Aunque en realidad no debemos calcular una incógnita sino la razón que es el cociente de dos incógnitas, pero vamos a ver que hay varias respuestas.
Primero despejamos C y D en las ecuaciones segunda y tercera
C = 56-A
D = B-12
Ahora sustituimos esos valores en la primera
$$\frac AB = \frac{56-A}{B-12}$$El producto de medios es igual al producto de extremos
A(B-12) = B(56-A)
AB -12A = 56B - AB
-12A = 56B - 2AB
A = -(56B - 2AB) / 12
A = (AB - 28B) / 6
dividimos por B
A/B = (A - 28) / 6
Luego la razón de A y B depende del valor de A y por tanto habrá distintas respuestas. Vamos a calcular 2 sencillas
Tomemos A =34
entonces r=A/B = (34-28) / 6 = 6/6=1
luego los números serían
$$\frac {34}{34}= \frac{56-34}{34-12}= \frac {22}{22}$$Y si tomamos A=40
r = A/B = (40-28)/6 = 12/6 = 2
los números serían
$$\frac{40}{20}=\frac{56-40}{20-12}= \frac{16}{8}$$Para calcular todas las respuestas supondré que A,B,C y D deben ser positivos, he hecho este pequeño programa.
program Project1;
{$mode objfpc}{$H+}
uses
{$IFDEF UNIX}{$IFDEF UseCThreads}
cthreads,
{$ENDIF}{$ENDIF}
Classes
{ you can add units after this };
var
a,c:integer;
b:double;
begin
for a:=29 to 55 do
begin
b:= 6.0*a/(a-28.0);
if b=trunc(b) then begin c:=trunc(b);writeln(a:5,c:5,56-a:5,c-12:5);end;
end;
readln;
end. Y los resultadoos han sido
A B C D 29 174 27 162 30 90 26 78 31 62 25 50 32 48 24 36 34 34 22 22 35 30 21 18 36 27 20 15 40 20 16 8 42 18 14 6 49 14 7 2 52 13 4 1
Y eso es todo.
¡Ah, se me olvidó contestar precisamente a lo que preguntaban, las razones se obtiene dividiendo en cada caso A, B y son
1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 1, 7/6, 4/3, 2, 7/3, 7/2 y 4
Si las ponemos con denomidor común 6 serían
1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 6/6, 7/6, 8/6, 12/6, 14/6, 21/6 y 24/6
Veamos si se puede hacer sin el ordenador
Recordando que la condición era
$$\begin{align}&\frac AB = \frac{A - 28}{6}\\ &\\ &\text{llamando n=A-28}\\ &\\ &\frac{n+28}{B}=\frac{n}{6}\\ &\\ &B= \frac{6(n+28)}{n}=6+\frac{6·28}{n}=\frac{2^3·3·7}{n}\\ &\end{align}$$Para que B sea un número entero n debe dividir a 2^3 · 3 · 7
Con lo cual podemos extraer la lista de valores para n que es la de divisores de ese número y es
1, 2, 2^2, 2^3, 3, 7, 2·3, 2^2·3, 2^3·3, 2·7, 2^2·7, 2^3·7, 3·7 =
1, 2, 4, 8, 3, 7, 6, 12, 24, 14, 28, 56, 21 =
1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 56
Y las razones serían
1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 6/6, 7/6, 8/6, 12/6, 14/6, 21/6, 24/6, 28/6, 56/6
He puesto en negrita y subrayadas dos porque no salen en el ordenador pero es que no son válidas, veámoslo:
En una ecuación de arriba teníamos
A/B = (A - 28) / 6
r = (A-28)/6
A = 6r+28
Si r =28/6 tenemos
A = 6(28/6)+28 = 56
pero entonces C = 56-A = 0
Y es absurdo, no podemos igualar dos fraccciones cuando el numerador de una es cero y el de la otra no lo es
Y si r = 56/6 entonces
A = 6(56/6) + 28 = 84
con lo cual C = 56-A = -28
y habíamos considerado que A,B,C,D eran positivos todos, luego no sirve.
En resumen:
Las razones posibles son:
1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 1, 7/6, 4/3, 2, 7/3, 7/2 y 4
anque se razona mejors su porqué si se ponen como
1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 6/6, 7/6, 8/6, 12/6, 14/6, 21/6 y 24/6
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.[/
