Ayuda con estos problemas de identidades

La \ de dividir que se usa aquí no da la misma información que la barra horizontal que escribiríamos a mano, porque aquí no podemos saber como de largos son el numerador y denominador a no ser que no se encierren entre paréntesis. Y donde no hay paréntesis las convenciones dicen que el numerador y denominador son solamente el termino anterior y posterior de la /. Luego has escrito mal las expresiones porque sé lo que querías poner y deb ponerse así

cosx / (1-senx) = (1+senx) / cosx

$$\begin{align}&\frac{cosx}{1-senx}=\frac{1+senx}{cosx}\\ &\\ &\text{pasando denominadores al otro lado}\\ &\\ &cosx·cosx =(1+senx)(1-senx)\\ &\\ &\text{Aplicando la fórmula del producto notable}\\ &\\ &\cos^2x = 1-sen^2x\\ &\\ &\text {por la identidad fundamental de la trigonometría}\\ &\\ &\cos^2x = \cos^2x \end{align}$$

En la segunda pondremos todo en función del seno y el coseno

$$\begin{align}&\frac{1}{cosx}=senx\left(\frac{senx}{cosx}+\frac{cosx}{senx} \right)\\ &\\ &\frac{1}{cosx}=senx\left(\frac{sen^2x+\cos^x}{senx·cosx}  \right)\\ &\\ &\frac{1}{cosx}= senx \left(\frac{1}{senx·cosx}  \right)\\ &\\ &\frac{1}{cosx}=\frac{senx}{senx·cosx}\\ &\\ &\frac{1}{cosx}=\frac{1}{cosx}\end{align}$$

En este segundo no puse explicaciones porque es costoso ponerlas dentro del editor de ecuaciones, pero yo creo que podrás entenderlo todo, y si hay algo que no pregúntamelo.

Y eso es todo.