Algebra_derivada
Si t(x) es un polinomio de grado tres con tres raíces reales a, b, c y todas diferentes entre si, que puede escribirse como t(x)=(x-a)(x-b)(x-c), demostrar que ninguno de los números a, b, c pueden ser raíz de la derivada de t(x).
Respuesta de carbajo
1
t(x)=(x-a)(x-b)(x-c)
t'(x)= 3x^2-2x(a+b+c)+ab+ac+bc
Igualamos a cero la derivada para hallar sus soluciones:
x^2-(2/3)x(a+b+c)+(ab+ac+bc)/3=0
Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado cumplen:
x1+x2=(2/3)(a+b+c)
x1·x2=(ab+ac+bc)/3
Supongamos que una solución es x1=a
(és lo mismo s suponemos x1=b o x1=c)
x1=a
x2=(2/3)(a+b+c)-a=(2/3)(b+c)-a/3
x2= (ab+ac+bc)/(3a)=b/3+c/3+bc/(3a)
Igualando ambas expresiones:
(2/3)(b+c)-a/3=b/3+c/3+bc/(3a)
Simplificando:
a^2-a(b+c)-bd=0
Resolviendo esta ecuación nos salen dos soluciones a=b y a=c.
Esto contradice la hipótesis de partida en la que se suponía que a, b y c eran distintos entre sí.
Luego x1 no puede ser igual a "a".
Lo mismo deducimos de b y c:
X1 no puede ser igual a "b"
X1 no puede ser igual a "c"
Entonces a, b o c no pueden ser raíz de la derivada de t(x).
t'(x)= 3x^2-2x(a+b+c)+ab+ac+bc
Igualamos a cero la derivada para hallar sus soluciones:
x^2-(2/3)x(a+b+c)+(ab+ac+bc)/3=0
Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado cumplen:
x1+x2=(2/3)(a+b+c)
x1·x2=(ab+ac+bc)/3
Supongamos que una solución es x1=a
(és lo mismo s suponemos x1=b o x1=c)
x1=a
x2=(2/3)(a+b+c)-a=(2/3)(b+c)-a/3
x2= (ab+ac+bc)/(3a)=b/3+c/3+bc/(3a)
Igualando ambas expresiones:
(2/3)(b+c)-a/3=b/3+c/3+bc/(3a)
Simplificando:
a^2-a(b+c)-bd=0
Resolviendo esta ecuación nos salen dos soluciones a=b y a=c.
Esto contradice la hipótesis de partida en la que se suponía que a, b y c eran distintos entre sí.
Luego x1 no puede ser igual a "a".
Lo mismo deducimos de b y c:
X1 no puede ser igual a "b"
X1 no puede ser igual a "c"
Entonces a, b o c no pueden ser raíz de la derivada de t(x).
