Estudio ingeniería técnica en obras públicas y las matemáticas son mi fuerte. Necesito ayuda.

(2)
Para resolver el limite primero calculemos los limites iterados:
lim (lim 2xy/x^2+2y^2) =
x->0 y->0
lim (0) =0
x->0
Del mismo modo,
lim (lim 2xy/x^2+2y^2) =
y->0 x->0
lim (0) =0
y->0
Esto nos hace pensar que el limite debe ser 0. Pero no es así. Ahora si hacemos y =mx, tenemos que el limite por las rectas que pasan por el origen, no existe.
f(x,y)=f(x,mx)= 2m^2x^2/(x^2+2m^2x^2)= 2m^2/(1+2m^2);
Lim 2m^2/(1+2m^2)
(x,y)->(0,0)
depende de m; por lo que no existe dicho limite.
Otro modo de verificar que no existe limite, pasamos a polares la expresion que nos dan.
x= rcost y =rsint
Luego:
Lim 2xy / x^2 +2y^2 =
(x,y)----(0,0)
= Lim 2r^2costsint/(r^2+r^2
r->0
(sint)^2) = 2costsint /(1+(sint)^2) es una funcion que no esta acotada, por lo que no tiene limite.

(3)
Sea A=
111
11-1
001
La matriz.
Para calcular los valores propios se debe resolver la ecuación siguiente:
Det(A-xI)=0. Esto es:
DET(A-xI)=
1-x 1 1
1 1-x -1
0 0 1-x
Det(A-xI)=0-> x^3-3x^2+2x=0
(El polinomio característico).
Los valores propios son las raíces del polinomio característico. Entonces:
Valores propios:
Por =0,1,2 . Como son distintos, la matriz dada es diagonizable.
Calculemos los autovectores(o vectores propios).
x =0 --> Resolver la siguiente ec matricial:
(A-0.I)(x,y,z)=(0,0,0);
Quedaría del modo siguiente:
(A-0.I)=A;
1 1 1 x 0
1 1 -1 * y = 0
0 0 1 z 0
Por lo que:
1º ec: x+y+z =0
2º ec: x+y-z =0
3º ec: z =0
De donde:
z= 0; y =-x; Por tanto el autovector correspondiente a x=0 es u =(1,-1,0);
haciendo del mismo modo:
los autovectores correspondientes a x = 1 y x = 2 son:
x= 1-> v =(1,-1,1)
x =2 -> w =(1,0,1)
Recuerda que para calcular el autovector de por =1 se debe calcular: (I es la matriz identidad de 3x3)
(A-1.I)=(A-I) y quedaria :
0 1 1
1 0 -1
0 0 0
Y para calcular el autovector del x = 2; (A-2I);Quedaria;
-1 1 1
1 -1 -1
1 0 -1