Volumen de elipse en coordenadas esféricas con integrales.
El ejercicio viene dado por la siguiente ecuación elíptica: x²/2²+y²/3²+z/1²=1
ya se cuales son las coordenadas esféricas de x²,y²,z²
x²=þsen²theta*cos²theta
y²=þsen²theta*sen²theta
,z²=þos²theta
Ya se que el jacobi es þ²sen²FI(Dþ, DFi, Dtheta)
Pero tengo una duda de como plantear las integrales, osea los limites de la integral(los ángulos, etc)
Quiero saber el Radio entre x, y pero que sea una ecuacion esferica factible.
Si no entienden mucho la explicacion y la saben hacer mediante coordenadas esfericas como sea se los agradeceria pero que sean en coordenadas esfericas
No tienes muy bien puestas las coordenadas esféricas.
Para empezar se necesitan dos ángulos:
- Theta en el plano Oxy entre el eje Ox y la proyección del radio vector en ese plano
- Phi entre el eje Oz y el radio vector
Y lo segundo es que no has elevado rho al cuadrado.
Las coordenadas esféricas que se usan para el cambio de variable son:
$$\begin{align}&x = \rho·sen\varphi·\cos\theta\\ &y = \rho·sen\varphi·sen\theta\\ &z = \rho·\cos \varphi\\ &\\ &\\ &\text{Y el jacobiano es:} \\ &I=\rho^2sen \varphi\end{align}$$La figura no se llama elipse sino elipsoide y en la ecuación el termino z también está elevado al cuadrado, que en tu ecuación no lo está.
Las coordenadas esféricas son realmente útiles para integrar figuras de radio constante, aquí el radio varia con los ángulos. Haremos un cambio previo de variable
x=2u
y=3v
z=w
su jacobiano es
|2 0 0|
I = |0 3 0| = 6
|0 0 1| Y la función quedará
u² + v² + w² = 1
Luego el volumen será 6 veces el de la esfera unidad.
Ahora es cuando usaremos el cambio de variable a coordenadas esféricas.
Los límites para la integración del volumen de la esfera unidad son
rho en [0, 1]
theta en [0, 2Pi]
phi en [0,Pi]
para no dejarte ninguna zona de la esfera sin integrar.
$$\begin{align}&V= 6\int_0^1\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\rho^2sen\varphi \;\;d\varphi \,d\theta\, d\rho=\\ &\\ &6\int_0^1\int_0^{2\pi}\rho^2[-\cos\varphi]_0^{\pi} \;\;d\theta\, d\rho=\\ &\\ &6\int_0^1\int_0^{2\pi}2 \rho^2\;\;d\theta\, d\rho=\\ &\\ &6\int_0^12 \rho^2[\theta]_0^{2\pi};\;d\rho=\\ &\\ &6\int_0^1 4\pi \rho^2;\;d\rho=\\ &\\ &24\pi\left[\frac{\rho^3}{3} \right]_0^1 =8\pi\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si tienes alguna duda pregúntala. Y si no, no olvides puntuar, es fundamental.
