Halla la ecuación de la circunferencia
que pasa por los puntos (2,-2) y por el punto de intersección de las circunferencias x^2+y^2+3x-2y-4=0, y , x^2+y^2-2x-y-6=0
1 respuesta
Los puntos de intersección son los que cumplen
x^2+y^2+3x-2y-4=0
x^2+y^2-2x-y-6=0
Los puntos que cumplan eso también cumplirán
a(x^2+y^2+3x-2y-4) 0
b(x^2+y^2-2x-y-6) = 0
Y también la suma de las dos
a(x^2+y^2+3x-2y-4) + b(x^2+y^2-2x-y-6) = 0
Esto es la ecuación de un haz de circunferencias que pasan por los dos puntos comunes de la dos iniciales. Ahora hagamos que pase por (2,-2)
a(4 + 4 + 6 +4 - 4) + b(4+4 -4 +2-6) = 0
14a + 0b = 0
14a= 0
a = 0
tomemos b=1
entonces queda
x^2+y^2-2x-y-6 = 0
Si hubiéramos hecho la comprobación inicial nos habríamos dado cuenta que la circunferencia segunda pasaba por ese punto y por lo tanto era la solución.
Y eso es todo.
no entendí como saco la ecuación por favor aclararme
Es que yo no sé que teoría habéis dado para estos problemas. SI fuera la que di yo, resolvería tal como lo he hecho porque es infinitamente más sencillo que si se hace calculando los puntos de intersección y luego la intersección de rectas mediatrices de esos puntos eso es algo muy complicado, como salgan puntos con raíces cuadradas que se simplifican te puedes morir.
La teoría que he aplicado es muy sencilla
Si un punto x, y está en las dos circunferencias cumple
x^2+y^2+3x-2y-4=0
x^2+y^2-2x-y-6=0
multiplicamos la primera por a y la segunda por b
a(x^2+y^2+3x-2y-4)=0
b(x^2+y^2-2x-y-6)=0
y luego las sumamos
a(x^2+y^2+3x-2y-4) + b(x^2+y^2-2x-y-6)=0
Si te fijas esto nos da
(a+b)x^2 + (a+b)y^2 + 3ax - 2bx -2ay - by - 4a - 6b = 0
Y si ahora divides todo por a+b tendrás
x^2 + y^2 + función lineal de (x,y) = 0
Luego la expresión a(x^2+y^2+3x-2y-4) + b(x^2+y^2-2x-y-6)=0 es en realidad una circunferencia. Y la teoría estudiada más a fondo dice que toda circunferencia que pasa por los puntos de intersección se puede expresar de esa forma.
Entonces lo que se hace es calcular los valores de a y b para los cuales esa circunferencia resultante pase por el punto (2, -2) y obtenemos la ecuación de esa circunferencia
Eso es lo que hicimos y nos dio a=0, luego la ecuación era
0(x^2+y^2+3x-2y-4) + b(x^2+y^2-2x-y-6) = 0
b(x^2+y^2-2x-y-6)=0
El valor de b puede ser cualquiera distinto de cero, pero si tomamos b=1 tenemos la ecuación de la circunferencia en formato habitual
x^2+y^2-2x-y-6=0
Y lo que se descubría al final es que la circunferencia que cumplía no era una circunferencia nueva sino que la segunda era la que cumplía el enunciado.
Y eso es todo un saludo.
