Unos problemas de calculo
el cuarto
Un foco de luz está situado en la cúspide de una torre de 80 metros de altura. Desde un punto situado a 20 metros del foco y a su misma altura, se deja caer una pelota. Suponiendo que esta cae según la ley s = 16t^2, hallar la velocidad la que se mueve la sombra de la pelota sobre el suelo, un segundo después de empezar a caer. Solución. 200 m/s
1 Respuesta
El foco estará en (0,80), la pelota cae de (20,80)
En el instante t la pelota está en
(20, 80-16t^2)
La sombra en el suelo es la intesección de la recta foco-pelota con el eje X
La ecuación recta foco-pelota se calcula asi
y = yo + p(x-xo)
donde p es pendiente p=(y1-yo) / (x1-xo)
Y donde (xo,yo) es el foco y (x1,y1) la pelota
y = 80 + [(80-16t^2 -80) / (20-0)](x-0)
y = 80 - (4/5)(t^2)x
Y el corte con el eje X es cuando y=0
0 = 80-(4/5)(t^2)x
4(t^2)x/5 = 80
x = 5·80/(4t^2) = 100/t^2
Y la velocidad de la sombra es la derivada de la posición de lqa sombra
x'(t) = -100·2t/t^4 = -200/t^3
x'(1) = -200 m/s
Luego la velocidad es -200 m/s.
Tiene el signo menos porque la sombra va en sentido negativo del eje x.
Y eso es todo.
