Ayuda con la ecuación de Gompertz
Hola valeroasm me gustaría que me ayudes con este problema de matemáticas:
El rector de una universidad pronostica que el crecimiento del número de alumnos será según la ecuación de Gompertz: N= 2000(0,6)^0,5t, donde t representa el tiempo en años después del inicio de actividades de la universidad.
a) ¿Cuál es el número de alumnos con que se inician las actividades de la universidad?
b) ¿Cuántos alumnos se pronostican luego de 1 año de operaciones?
c) Si las instalaciones de la universidad tienen capacidad para 1950 personas, ¿después de cuántos tiempo de fundada se llegará a este límite.
1 respuesta
Cuando un exponente tiene operaciones dentro de él debe ponerse entre paréntesis, en lo que has puesto la t no formaría parte del exponente y sería un factor por la derecha.
N = 2000·(0.6)^(0.5t)
a) Los que inician la actividades son los que hay en el instante t=0. Sustituimos t con el valor 0 para calcular cuántos son
N(0) = 2000·(0.6)^(0.5 · 0) =
2000·(0.6)^0
2000·1 =
2000
Luego son 2000 los que inician las actividades.
b) Ahora se sustituye t=1 y se calcula
N(1) = 2000·(0.6)^(0.5 · 1) =
2000·(0.6)^0.5=
Si no tienes calculadora científica (y aunque la tengas) recuerda que elevar a la 0.5 = 1/2 es como extraer la raíz cuadrada
2000 · 0.7745966692 =
1549.193338
c) Ahora debemos hacer que el valor de N sea 1950 y calcular t
1950 = 2000·(0.6)^(0.5t)
1950 / 2000 = 0.6^(0.5t)
0.975 = 0.6^(0.5t)
extraemos logaritmos, neperianos por ejemplo:
ln(0.975) = ln[0.6^(0.5t)]
usamos propiedades de los logaritmos
ln(0.975) = 0.5t·ln(0.6)
ln(0.975) / ln(0.6) = 0.5t
t = [ln(0.975) / ln(0.6)] / 0.5 =
[(-0.02531780798 / (-0.5108256238)] / 0.5 =
0.04956252545 / 0.5 = 0.09912505091 años
Luego deben pasar 0.09912505091 años
En días serían 365 · 0.09912505091 = 36.18 días
Y eso es todo.
