Intervalos concavidad y convexidad

Imagino que el numerador es todo lol de delante y el denominador todo lo de detrás, pero la norma es que solo es el termino anterior y posterior, luego deberías haberlo escrito así

f(x) = (x+1) / (x-5)

Sí, hay que hacer la derivada segunda. Si es positiva será tendrá forma de U y si es negativa forma de vaso hacia abajo. Las palabras cóncava y convexa no significan nada porque para cada país, persona o cultura les dan el significado opuesto. En otros sitios se habla de cóncava hacia arriba en forma de U y cóncava hacia abajo lo contrario.

$$\begin{align}&f(x)=\frac{x+1}{x-5}\\ &\\ &\\ &f´(x)= \frac{x-5-(x+1)}{(x-5)^2}=\frac{-6}{(x-5)^2}\\ &\\ &\\ &f´´(x)=\frac{-6[-2(x-5)]}{(x-5)^4}=\frac{12(x-5)}{(x-5)^4}=\frac{12}{(x-5)^3}\end{align}$$

Y el signo de la derivada segunda es el signo del denominador. Y el signo del denominador es el signo de (x-5) ya que si es positivo el cubo será positivo y si es negativo será negativo.

Será positivo si x-5 >0 luego si

x>5

Y será negativo si

x<5

Luego la función es cóncava hacia arriba si x>5 y cóncava hacia abajo si x<5

Y eso es todo.