Espacios vectoriales, álgebra lineal

Habría que verificar que se cumplen las condiciones de espacio vectorial para

(F^n, F, +, ·)

Donde + se define asi

u=(u1, u2, ..., un)

v=(v1, v2, ...., vn)

con u sub i, v sub i € F

u+v = (u1+v1, u2+v2, ..., un+vn)

Nótese que la operación + de la izquierda y las de la derecha no son la misma, la de la izquierda es la suma vectorial y las de la derecha son las suma del cuerpo F. Pero es que si no se pudiese sobrecargar el signo + e mundo no tendría sentido, todos sabemos cuando el+ significa una cosa u otra.

Es obviamente una operación interna u + v € Fn

Y el producto de escalar por vector "·" se define así:

a · u = a·(u1, u2, ..., un) = (a·u1, a·u2, ..., a·un)

con a, u sub i € F

Lo mismo digo respecto del signo de la operación "·". Las dos de la izquierda son el producto de escalar por vector y las de la derecha son el producto del cuerpo F.

Es una operación del cuerpo F por el espacio vectorial F^n en F^n como se exige.

Y las condiciones son que la operación + de F^n sea un grupo conmutativo

i) Asociativa (u + v) + w = u + (v + w)para todo u,v,w € F^n

(u+v)+w =

[(u1, ...,un) + (v1, ..., vn)] + (w1, ..., wn) =

(u1+v1, ..., un+vn) + (w1, ..., wn) =

((u1+v1)+w1, ..., (un+vn)+wn) =

como la operación + del cuerpo es asociativa

(u1+(v1+w1), ..., un+(vn+wn)) =

(u1, ..., un) + [(v1, ..., vn) + (w1, ..., wn)] =

u + (v+w)

ii) Existe elemento neutro de Fn que llamaremos 0, y es (0, ..., 0)

También sabremos si es el elemento neutro de la suma vectorial o el del cuerpo por el contexto.

u + 0 = 0+ u = u para todo u € F^n

u + 0 =

(u1, ..., un) + (0, ..., 0) =

(u1+0, ..., un+0) =

y como el 0 es elemento neutro del cuerpo F

= (0+u1, ..., 0+ un) =

0+u =

(u1, ..., un) =

u

Se podría haber demostrado antes la propiedad conmutativa para que la del elemento neutro hubiera sido solo demostrar u+0 = u, pero no cuesta mucho más demostrar u+0=0+u y seguimos el orden normal de demostrar primero que es grupo y luego grupo abeliano.

iii) Todo elemento tiene elemento inverso.

Dado u llamaremos -u al inverso, más bien se denomina elemento opuesto al elemento inverso cuando la operación es la suma.

u + (-u) = (-u)+u = 0

Si u=(u1, ..., un)

-u = (-u1, .... -un)

donde -ui es el elemento inverso de ui para la operación suma en el cuerpo F

u + (-u) = (u1+(-u1), ..., un+(-un)) =

por ser inversos en F para la suma se cumple

= (0, ..., 0) = 0 del espacio vectorial

Y con (-u)+u se demuestra de forma análoga

iv) Es conmutativa u+v = v+u para todo u,v € Fn

u+v =

(u1, ..., un) + (v1, ..., vn) =

(u1+v1, ..., un+vn) =

(v1+u1, ..., vn+un) =

v+u

Y luego hay una cuantas condiciones mas:

v) Asociativa del producto por un escalar

a·(b·u) = (a·b)·u para todos a,b € F y todo u € F^n

a·(b·u) =

a·(b·(u1, ..., un)) = a·(b·u1, ..., b·un) =

(a·(b·u1), ..., a·(b·un)) =

como el producto del cuerpo F es asociativo

=((a·b)·u1, ..., (a·b)·un) =

(a·b)(u1, ..., un) =

(a·b)·u

VI) 1·u = u para todo u, donde 1 es el elemento neutro del producto en el cuerpo F

1·u =

1·(u1, ..., un) =

(1·u1, ..., 1·un) =

Como 1 es el elemento neutro del producto en F

= (u1, ..., un) =

u

vii) Propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

a·(u+v) = a·u + a·v Para todos a,b € F y para todo u € F^n

a·(u+v) =

a·[(u1, ..., un) + (v1, ..., vn)] =

a·(u1+v1, ..., un+vn) =

(a·(u1+v1), ..., a·(un+vn)) =

por la propiedad distributiva del producto respecto de la suma en F

= ((a·u1)+(a·v1), ..., (a·un)+(a·vn)) =

(a·u1, ..., a·un) + (a·v1, ..., a·vn) =

a·(u1, ..., un) + a·(v1, ..., vn) =

a·u + a·v

viii) Propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

(a+b)·u = a·u + b·u para todos a,b € F y para todo u € F^n

(a+b)·u =

(a+b)·(u1, ..., un) =

((a+b)·u1, ...., (a+b)·un) =

Por la propiedad distributiva del producto respecto de la suma en el cuerpo F

= ((a·u1)+(b·u1), ..., (a·un)+(b·un)) =

(a·u1, ..., a·un) + (b·u1, ..., b·un) =

a(u1, ..., un) + b(u1, ..., un) =

a·u + b·u

Y ya está todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Es sencillo, lo único que he necesitado es paciencia para no dejarme ningún paso intermedio, que espero no me los haya dejado ya que no se puede dar nada por supuesto.