Pregunta de integrales

Es una integral racional sencilla dentro de lo que pueden ser las racionales.

Las raíces del denominador son 1 y -1, su factorización es

(x+1)(x-1)

Consiste en igualar la función a la suma de dos racionales simples

$$\begin{align}&\frac{5x-1}{x^2-1}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1}=\\ &\\ &\\ &\frac{ax-a+bx+b}{(x+1)(x-1)}=\frac{(a+b)x+(b-a)}{x^2-1}\end{align}$$

Y para que el primer miembro sea igual al último debe tener el mismo numerador. Que como es un polinomio debe tener igual los coeficientes de todos los términos correspondientes. De ello se deducen estas dos ecuaciones

a+b =5

b-a = -1

Sumándolas tenemos

2b = 4

b = 2

a= 5-2=3

Luego la integral será

$$\begin{align}&I=\int \left(\frac{3}{x+1}+\frac{2}{x-1}\right)dx=\\ &\\ &3ln(x+1)+2ln(x-1)+C\end{align}$$

Y esa es la mejor de dejarla, contrariamente al criterio de los profesores que siempre quieren que trabajes de más para demostrar que conoces las propiedades de los logaritmos.

Por si así te lo piden la respuesta sería

$$I=ln\left((x+1)^3(x-1)^2  \right)+C$$

Y eso es todo.