Derivadas de funciones complejas

Usaremos el teorema de la página 15.

$$\begin{align}&f(z)=\sqrt z=\sqrt r e^{i\frac{\theta}{2}}=\sqrt r\,\cos \frac{\theta}{2}+i \sqrt r\,sen \frac {\theta}{2}\\ &\\ &u(r,\theta)= \sqrt r\,\cos \frac{\theta}{2}\\ &\\ &v(r,\theta) = \sqrt r\, sen \frac{\theta}{2}\\ &\\ &\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\cos \frac{\theta}{2}}{2 \sqrt r}\quad\quad\frac{\partial u}{\theta}=-\frac{\sqrt r}{2}sen \frac{\theta}{2}\\ &\\ &\frac{\partial v}{\partial r}=\frac{sen \frac{\theta}{2}}{2 \sqrt r}\quad\quad\frac{\partial v}{\theta}=\frac{\sqrt r}{2}\cos \frac{\theta}{2}\end{align}$$

Estas derivadas existen y son continuas para r distinto de 0

Y se ve que se verifican las condiciones de Cauchy-Riemann para funciones polares que son como las normales pero con un factor 1/r en la parte donde esta la parcial respecto a theta.

Por lo tanto la función es derivable en el dominio que nos dicen.

Y la derivada un punto zo es

$$\begin{align}&f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{\sqrt z-\sqrt {z_0}}{z-z_0}=\\ &\\ &\lim_{z\to z_0}\frac{\sqrt z-\sqrt {z_0}}{(\sqrt z+\sqrt {z_0})(\sqrt z-\sqrt {z_0})}=\\ &\\ &\lim_{z\to z_0}\frac{1}{\sqrt z+\sqrt {z_0}}=\frac{1}{\sqrt{z_0}+\sqrt{z_0}}=\frac{1}{2 \sqrt{z_0}}\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.