Ayuda con continuidad
Determina A y B de modo que la función f(x) sea continua en todo su dominio
f(x) = [ 3 - ( 3x+ 3 )^1/3 ] / [ A* [ (x)^1/3 - 2 ] ] , Si x<8
= A*B , Si x=8
=2 / [ B* | 2X - 7 | ] , Si x > 8
NOTA : | 2X - 7 | es el valor absoluto
debe salir A =2 , y B = -1 / 3
Lo que hay que hacer es que coincidan los límites laterales y el valor en x= 8
El limité de la función por la derecha es:
$$\begin{align}&\lim_{x \to 8_-}\frac{3-\sqrt[3]{3x+3}}{A(\sqrt[3]x-2)}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 8_-}\frac{\frac{27-3x-3}{9+3 \sqrt[3]{3x+3}+\sqrt[3]{(3x+3)^2}}}{\frac{A(x-8)}{\sqrt[3]{x^2}+2 \sqrt[3]x+4}}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 8_-}\frac{(24-3x)(\sqrt[3]{x^2}+2 \sqrt[3]x+4)}{A(x-8)(9+3 \sqrt[3]{3x+3}+\sqrt[3]{(3x+3)^2})}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 8_-}\frac{-3(\sqrt[3]{x^2}+2 \sqrt[3]x+4)}{A(9+3 \sqrt[3]{3x+3}+\sqrt[3]{(3x+3)^2})}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 8_-}\frac{-3(4+2·2+4)}{A(9+3·3+9)}=\frac{-36}{27A}=\frac{-4}{3A}\\ &\end{align}$$No es un límite sencillo, por eso imagino que habrás dado ya la igualdad coclotómica que dice
$$(a^n-b^n)=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$$Y que se ha aplicado suponiendo que el numerador y denominador eran la parte (a-b) de la fórmula
El límite por la derecha no tiene ninguna complicación es:
2/[B(|16-7|)] = 2/(9B)
Las tres cantidades deben ser iguales
-4/(3A) = AB = 2/(9B)
Se entresacan dos igualdades
-4/(3A) = AB ==> -4 = 3BA^2 ==> B=-4/(3A^2)
-4/(3A) = 2/(9B) ==> -36B = 6A ==> B = -A/6
-4/(3A^2) = -A/6
24 = 3A^3
A^3 = 8
A = 2
Y calculado A tenemos
B=-A/6 = -2/6 = -1/3
Luego la solución es
A=2
B=-1/3
Justamente la solución que dices.
Y eso es todo.
