Los valores de a, b para que el polinomio
los valores de a,b para que el polinomio A(x) = x^3 + ax^2 - bx - 12 sea divisible por (x+3) y que tenga a 2 como raíz
1 Respuesta
Por la teoría, teorema del resto y otros hay tres cosas que son equivalentes:
1) Tener raíz r
2) Ser divisible entre (x-r)
3) El polinomio se anula para r, es decir A(r) = 0
Luego el enunciado nos dice que las raíces son -3 y 2. Y en esos valores el polinomio vale 0, luego
(-3)^3 +a(-3)^2 - b(-3) - 12 =
-27 + 9a + 3b -12
9a + 3b - 39 = 0
y por otro lado
2^3 + 4a -2b - 12 =
8 + 4a - 2b -12 =
4a - 2b - 4 = 0
Podemos simplificar las ecuaciones para hacer cuentas más sencillas, la primera la dividiremos entre 3 y la segunda entre 2, quedando estas dos ecuaciones
3a + b - 13 = 0
2a - b - 2 = 0
Las sumamos
5a + 0b - 15 = 0
5a = 15
a=3
Y ahora vamos a la ecuación primera con ese valor
3·3 + b - 13 = 0
9 + b - 13 = 0
b = 4
Luego la solución es
a=3
b=4
Y eso es todo.
