Pregunta sobre progresión aritmética

Mil unidades monetarias darán interés anual de

8·1000/100 = 80 um

Las primeras 1000 unidades monetarias darán intereses durante 5 años, luego darán

5·80 = 400 um

Las que se ponen al año dan intereses durante 4 años, luego producen

4·80 = 320 um

las terceras

3·80 = 240

Y lo más fácil sería calcularlas todas y sumarlas, pero vamos a usar la teoría de las sucesiones aritméticas.

Cada ingreso anual recibe 80 um menos que el anterior, es por tanto una sucesión aritmética

a1= 400

an= 400 - 80(n-1) = 480 - 80n = 80(6-n)

La suma de los n términos de una sucesión es

Sn=(a1+an)n/2

Son 5 años luego

S5 = (400+80)5/2 = 480·5/2 = 1200 um

Entonces son 1200 um de intereses y las imposiciones han sido 5·1000 = 5000

Luego el valor del plan el 5 año es

5000+1200 = 6200 um

b) Las primeras 1000 unidades estarán n años y producirán

80n um de intereses

Las segundas 1000um producen

80(n-1)

...

Hasta las últimas que producen

80

La suma de los n términos de la sucesión será

Sn = (a1+an)n/2 = (80n+80)n/2 = 40(n^2+n)

Y las imposiciones serán 1000n

Luego el valor del plan es

1000n+40(n^2+n) =

1040n + 40n^2 =

40n(26+n) um

Comprobamos que esa fórmula para n sirve para 5 qu lo calculamos antes

40·5(26+5) = 200 · 31 = 6200 um

Y eso es todo.