Necesito para examen expresar como combinación lineal de una base el siguiente vector

Llamemos (x, y, z) a los coeficientes de los vectores

r = xu + yv + zw

(1,-6,7) = (0,7x,8x) + (y,y,-y) + (z,-4z,0)

(1, -6, 7) = (y+z, 7x+y-4z, 8x-y)

esto equivale a un sistema de tres ecuaciones

y + z = 1

7x + y - 4z = -6

8x - y = 7

Y ahora esto se resuelve como te hayan enseñado, bien por matrices o por sustituciones que es como lo haré yo

de la primera se deduce z=1-y

de la tercera se deduce x = (7+y)/8

vamos con esos valores a la segunda

7(7+y)/8 + y - 4(1-y) = -6

(49 +7y) / 8 + y - 4 + 4y = - 6

(49 + 7y) / 8 + 5y = -2

49 + 7y + 40y = -16

47y = -65

y = -65/47

Y con ese valor vamos donde teníamos despejada la x y la z

x = (7 - 65/47)/8 = (329-65)/(47·8) = 264 /(47·8) = 33/47

z = 1+65/47 = 112/47

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El punto medio se calcula muy fácilmente, se suman las coordenadas y se dividen por 2.

medio = (1/2)[(4,3,4) + (5,4,3)] = (1/2)(9, 7, 7) = (9/2, 7/2, 7/2)

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Para el punto simétrico de A=(4,3,4) respecto de C=(5,4,3), calcularemos el vector AC y se lo sumaremos a C

Vector AC = (5,4,3) - (4,3,4) = (1,1,-1)

simétrico = C + vector AC = (5,4,3)+(1,1,-1) = (6,5,2)

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La distancia es la raíz cuadrada de las diferencias de las coordenadas elevadas al cuadrado.

$$\begin{align}&d[(4,3,4),(4,20,4)] =\\ &\\ &\sqrt{(4-4)^2+(20-3)^2+(4-4)^2}=\\ &\\ &\sqrt{0+17^2+0}=17\end{align}$$

Y eso es todo.