Necesito para examen expresar como combinación lineal de una base el siguiente vector
sean los vectores u=(0,7,8), v=(1,1,-1) y w=(1,-4,0), me piden expresar como combinación lineal de estos al vector r=(1,-6,7)
También calcular el punto medio entre A=(4,3,4) y C=(5,4,3), así como el simétrico de A respecto de C.
La Distancia entre A=(4,3,4) y B=(4,20,4)
Me sería de gran ayuda y agradeceré mucho
1 respuesta
Llamemos (x, y, z) a los coeficientes de los vectores
r = xu + yv + zw
(1,-6,7) = (0,7x,8x) + (y,y,-y) + (z,-4z,0)
(1, -6, 7) = (y+z, 7x+y-4z, 8x-y)
esto equivale a un sistema de tres ecuaciones
y + z = 1
7x + y - 4z = -6
8x - y = 7
Y ahora esto se resuelve como te hayan enseñado, bien por matrices o por sustituciones que es como lo haré yo
de la primera se deduce z=1-y
de la tercera se deduce x = (7+y)/8
vamos con esos valores a la segunda
7(7+y)/8 + y - 4(1-y) = -6
(49 +7y) / 8 + y - 4 + 4y = - 6
(49 + 7y) / 8 + 5y = -2
49 + 7y + 40y = -16
47y = -65
y = -65/47
Y con ese valor vamos donde teníamos despejada la x y la z
x = (7 - 65/47)/8 = (329-65)/(47·8) = 264 /(47·8) = 33/47
z = 1+65/47 = 112/47
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El punto medio se calcula muy fácilmente, se suman las coordenadas y se dividen por 2.
medio = (1/2)[(4,3,4) + (5,4,3)] = (1/2)(9, 7, 7) = (9/2, 7/2, 7/2)
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Para el punto simétrico de A=(4,3,4) respecto de C=(5,4,3), calcularemos el vector AC y se lo sumaremos a C
Vector AC = (5,4,3) - (4,3,4) = (1,1,-1)
simétrico = C + vector AC = (5,4,3)+(1,1,-1) = (6,5,2)
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La distancia es la raíz cuadrada de las diferencias de las coordenadas elevadas al cuadrado.
$$\begin{align}&d[(4,3,4),(4,20,4)] =\\ &\\ &\sqrt{(4-4)^2+(20-3)^2+(4-4)^2}=\\ &\\ &\sqrt{0+17^2+0}=17\end{align}$$Y eso es todo.
