Funciones de densidad conjunta
La función de densidad conjunta de la v.a. (X, Y) viene dada por:
f(x,y)= ( e^-x/y * e^-y) / y ; 0< z, 0<y 0 en el resto.
Calcula la E(X /Y).
1 respuesta
Espero interpretar bien el enunciado. De las reglas de prioridad de operaciones:
1º Las potencias
2º Multiplicaciones y divisiones
3º Sumas y restas
Se deduce que todo numerador, denominador o exponente que tenga mas de una letra debe encerrarse entre paréntesis.
De forma que creo que quieres decir
f(x,y) =[e^(-x/y)·e^(-y)] / y
$$f(x,y)=\frac{e^{-(x/y)}e^{-y}}{y}$$Casi mejor si me lo confirmas antes de hacer nada, que en las integrales una pequeña modificación de la expresión puede ser la diferencia entre resolverla y volverte completamente loco.
Hola Valeroasm! muchas gracias por responder. La función es tal como la puesto. Siento haberte liado, muchas gracias!!!!
Por definición la esperanza de una función de las variables aleatorias es la integral de la función por la función de densidad en todo el dominio
$$\begin{align}&E(X/Y) =\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\frac xy \frac{e^{-(x/y)}e^{-y}}{y}dxdy =\\ &\\ &\\ &\\ &\int_0^{\infty} \frac{e^{-y}}{y^2}\int_0^{\infty}xe^{-(x/y)}dxdy\\ &\\ &\\ &\text {Resolvemos por partes la integral de dx}\\ &\\ &u=x\quad \quad\quad\quad du=dx\\ &dv=e^{-(x/y)}dx\quad v=-ye^{-(x/y)}\\ &\\ &-xye^{-(x/y)}+\int ye^{-(x/y)}dx =\\ &\\ &-xye^{-(x/y)}-y^2e^{-(x/y)}=-ye^{-(x/y)}(x+y)\\ &\\ &\text{volvemos a la integral doble con este valor}\\ &\\ &\int_0^{\infty} \frac{e^{-y}}{y^2}\left[-ye^{-(x/y)}(x+y) \right]_0^{\infty}dy=\\ &\\ &\text{Recordar que es la x la que debemos evaluar}\\ &\\ &e^{-\infty/y}·\infty=0\\ &\text{Y para x=0 el corchete vale }-y^2\\ &\\ &\int_0^{\infty} \frac{e^{-y}}{y^2}y^2dy =\\ &\\ &\int_0^{\infty} e^{-y}dy = -e^{-y}|_0^{\infty}= 0+1 = 1\\ &\\ &\\ &\\ &\text{Luego E(X/Y)=1}\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
