Demostrar esta otra forma del principio de inducción
Esta es la otra forma que quiero demostrar, me ayudas por favor
Sea b un cierto número natural dado, y sea una proposición P(n) asociada con cada numero natural n mayor o igual que b. Entonces P(n) es cierta para todos los valores de n siempre que:
1) P(b) sea cierta
2) Para todo m mayor que b la suposición de que P(k) es cierta para todo k perteneciente a N tal que b es menor o igual que k y k es menor que m, implique P(m) es cierta.
1 respuesta
Hagamos una aplicación biyectiva del conjunto
{b, b+1, ....} |-----> N
f(x) = x-b+1
que no cuesta nada probar que es biyectiva
Formulamos la proposición Q(k) = P(f^-1(k)) = P(k+b-1)
Q(1) = P(b)
Luego si se cumple P(b) se cumple P(1)
Y si se cumpliéndose P(k) para b<=k<m se cumple P(m)
entonces se cumple que
cumpliéndose Q(k) para 1 <= k < m-b+1 se cumple Q(m-b+1)
que llamando n=m-b+1 queda mas comprensible
cumpliéndose Q(k) para 1<= k < n se cumple Q(n)
Luego Q se cumple para todo N y entonces P se cumple para todo numero mayor o igual que b.
Y eso es todo.
