¿Cómo puedo obtener las raíces de la ecuación 8x^3-44x^2+46x+35?

No me dices qué estáis estudiando, voy a hacerlo como creo que es más probable que sea.

Por el teorema de la raíz racional, si existe alguna será de la forma p/q con p y q primos entres si y de modo que p divide al termino de grado cero (35) y q divide al termino de mayor grado (8)

Esto nos da este abanico de opciones

{1,-1, 5, -5, 7, -7, 35, -35,

1/2, -1/2, 5/2,-5/2, 7/2, -7/2, 35/2, -35/2,

1/4, -1/4, 5/4,-5/4, 7/4, -7/4, 35/4, -35/4,

1/8, -1/8, 5/8,-5/8, 7/8, -7/8, 35/8, -35/8}

De aquí se puede sacar una forma de simplificar las respuestas posibles

Teorema de la raíz racional

pero es algo complicado.

Tengo yo en mi libro del colegio de COU (Curso de Orientación Universitaria a los 17-18 años) un método más sencillo que dice que las respuestas p/q deben satisfacer

q-p divisor de P(1), y

q+p divisor de p(-1)

Vamos a aplicarlo

P(x)=8x^3-44x^2+46x+35

P(1) = 8-44+46+35 = 45

P(-1) = -8 -44 -46+35 = -63

q-p = 1, -1, 3, -3, 5, -5, 9. -9. 15, -15, 45,-45

q+p = 1, -1, 3, -3, 7, -7, 9, -9, 21, -21, 63,-63

y es cuestión de probar una por una las respuesta posibles que decíamos arriba:

vemos que 1/2 puede servir ya que 2-1 = 1 y 2+1=3

P(1/2) = 8/8 - 44/4 + 46/2 + 35 = 1-44+23+35 = 15 no es raíz

también podría servir -1/2 porque 2+1=3 y 2-1= 1

P(-1/2) = -8/8 - 44/4 -46/2 + 35 = -1-11-23-+ 35 = 0 EUREKA

Luego -1/2 es una raíz, veamos como queda el polinomio al dividir por x+1/2

       8   -44   46   35
-1/2        -4   24  -35
       -----------------
       8 -48 70 0

queda 8x^2 - 48x + 70 que resolvemos ya con una ecuación de segundo grado

$$\begin{align}&x=\frac{48\pm \sqrt{48^2-4·8·70}}{16}=\\ &\\ &\frac{48\pm 8}{16}= \frac{56}{16}y \frac{40}{16}=\frac 72 y \frac 52\end{align}$$

Luego las raíces son

-1/2, 7/2 y 5/2

Si quieres lo hacemos con la formula de tercer grado, pero mándamelo en otra pregunta que esta ya me costó bastante.