Operaciones con relaciones,Demuestra las 2 contenencias
(a) (R1 o R2) o R3 c_ R1 o (R2 o R3)
(b) R1 o (R2 o R3) c_ (R1 o R2) o R3)
(a) Sea (a,d)E(R1 o R2)oR3
->3c[(a,c)ER1 o R2 n (c,d)ER3]
->3c{3b[(a,b)E R1 n (b,c)E R2] n (c,d)E R3}
->3c3b{[(a,b)E R1 n (b,c)E R2] n (c,d)E R3}
->3c3b[(a,b)E R1 n [(b,c)E R2] n (c,d)E R3]}
->3b3c[(a,b)E R1 n [(b,c)E R2] n (c,d)E R3]}
->3b[(a,b)E R1 n 3c[(b,c)E R2] n (c,d)E R3]}
->3b[(a,b)E R1 n (b,d)E R2 o R3]->(a,d)E R1 o(R2 o R3)
* 3=es la E al revés
se debe resolver la demostración de la siguiente relación
trate de escribirlo tal cual.
1 respuesta
Por lo que veo ya tienes demostrada una contenencia, la demostración de la otra es análoga.
Hay que partir de estas definiciones
a R b <==> (a, b) € R
a (R1 o R2) b <==> existe c tal que (a,c) € R1 y (c,b) € R2
Y debemos demostrar las dos contenencias
$$\begin{align}&(R1oR2)oR3 \subseteq R1o(R2oR3)\\ &\\ &Sea (a,b)\in (R1 o R2) o R3 \iff\\ &\exists\, c:(a,c)\in R1oR2 \wedge (c,b)\in R3 \iff\\ &\exists c:[ \exists d:(a,d)\in R1 \wedge (d,c)\in R2]\wedge (c,b)\in R3 \iff\\ &\exists c\wedge\exists d: (a,d)\in R1 \wedge (d,c)\in R2\wedge (c,b)\in R3 \iff\\ &\exists d: (a,d)\in R1 \wedge [\exists c: (d,c)\in R2\wedge (c,b)\in R3] \iff\\ &\exists d: (a,d)\in R1 \wedge [(d,b)\in R2oR3] \iff\\ &(a,b)\in R1o(R2oR3)\end{align}$$Y la otra contenencia se demuestra empezando por el final y volviendo al principio, ya que las implicaciones son todas de doble sentido. Si quieres puedes volver a escribirla pero no hace falta. Los dos puntos de la demostración significan tal que o tales que. Es un ejercicio sencillo cuya mayor dificultad es la notación.
Y eso es todo.
