Álgebra Moderna- ejercicios

4.

a) No dice a qué números se refiere. Pero siendo un homomorfismo debe ser el grupo multiplicativo para que sea un homomorfismo luego debe ser al menos Q-{0} con la multiplicación o R-{0}.

f: Q-{0} ------> Q-{0}

f: R-{0} ------> R-{0}

El núcleo son los elementos cuya imagen es el elemento neutro siendo 1 el elemento neutro luego

Ker f = {-1, 1}

Im f = Q+ o R+

b) La función determinante sera de Mnxn en R. Se cumple que el determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes, luego la operación es el producto de matrices en Mnxn y en R es el producto también. Hay que quitar las matrices singulares en Mnxn y el 0 en R para que sean grupos

f: {Mnxn no singulares} ------> R-{0}

El núcleo son las matrices con determinante 1 y la imagen es R

c) Es una función de (R, +) en (R-{0}, ·)

El núcleo es

Ker f = {0}

ya que solo e^0 = 1

La imagen es R+ ya que la potencia e^x es siempre positiva.

d) La función traza deberá ser de (Mnxn, +) en (R, +)

El núcleo son las matrices cuya diagonal suma 0 y la imagen es R

e) La función transpuesta deberá ser de (Mnxn, +) en (Mnxn, +)

El núcleo es la matriz identidad y la imagen es Mnxn

f) La función signo. Para que haya homomorfismo la operación debe ser la multiplicación luego

f:(R-{0}, ·) ------>({+, -}, *)

donde la operación * es

+ * + = +

+ * - = -

- * + = -

- * - = +

El elemento neutro de este grupo es el elemento +

Por lo tanto

Ker f = R+

Im f = {+,-}

g) La función derivada

El grupo origen es el de todas las funciones derivables en cierto intervalo y el grupo imagen el de todas las funciones en ese intervalo. Nótese que el grupo imagen puede contener funciones no derivables, ya que hay funciones derivables una vez pero no dos veces. La operación es la suma.

El núcleo son las funciones constantes en es ese intervalo, ya que son las que tienen derivada 0. Y la imagen son todas las que puedan ser. Ciertamente es difícil precisar cuáles si no nos dicen el tipo de funciones del grupo origen. Si por ejemplo nos dijeran que son polinomios diríamos que la imagen son los polinomios. Pero si son funciones elementales no es todo pues sabemos que hay funciones elementales cuya integral no se puede expresa como función elemental.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. En cada pregunta un solo ejercicio. Si quieres el otro en otra pregunta.