Hallar la ecuación de la circunferencia

Primero hallamos la recta de puntos equidistantes de los dos puntos, el centro de la circunferencia estará en esa recta. Ya sabes que la distancia es una raíz cuadrada, pero yo la quito y dejo solo lo de dentro, ya que lo mimo nos sirve igualar la distancia que el cuadrado de la distancia

(x+3)^2 +(y-2)^2 = (x-4)^2+(y-1)^2

Vemos que los términos x^2 e y^2 se simplifican porque van a salir lo mismo en ambos lados, entonces ni los vamos a poner, si tuvieramos un pizarra, los pondríamos y tacharíamos después, vamos a hacer aquí el efecto pizarra.

6x + 9 - 4y + 4 = -8x + 16 - 2y + 1

14x - 2y - 4 = 0

Llamamos (a, b) al centro y r el radio

Pero por ser la circunferencia tangente al eje X sucede que el radio es la distancia al eje X y entonces la coordenada y del centro de la circunferencia es el radio. Bueno no es exactamente eso porque puede ser negativa la coordenada y, pero el radio al cuadrado si que será la coordenada y del centro al cuadrado.

Entonces la ecuación canónica

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r2 si simplifica y queda

(x-a)^2 + (y-b)^2 = b^2

Y tenemos dos puntos y dos incógnitas, hagamos que la circunferencia pase por m(-3,2) y n(4,1)

(-3-a)^2 + (2-b)^2 = b^2

(4-a)^2 + (1-b)^2 = b^2

Es un sistema que hay que resolver veamos si es fácil o no, empiezo por la primera

9+a^2+6a + 4 + b^2-4b = b^2

a^2 + 6a + 13 = 4b

ahora la segunda

16 + a^2 - 8a +1 + b^2 - 2b = b^2

a^2 - 8a +17 = 2b

Para dejar igual la parte derecha que en la ecuación anterior multiplico todo por 2

2a^2 - 16a + 34 = 4b

Tenemos dos ecuaciones iguladas a 4b, luego las partes izuierdas son iguales

2a^2 - 16a + 34 = a^2 + 6a + 13

pasamos todo a la izquierda

a^2 - 22a + 21 = 0

Y resolvemos

$$\begin{align}&a=\frac{22\pm \sqrt{22^2-84}}{2}=\\ &\\ &\frac{22\pm 20}{2}= 21\quad y\quad 1\end{align}$$

entonces tomo la ecuación más fácil de las que había por arriba y para a=21

21^2 - 8·21 + 17 = 2b

290 = 2b

b= 145

Y para a =1

1^2-8·1 + 17 = 2b

10=2b

b= 5

Luego hay dos circunferencias posibles, una con centro en (21,145) y radio 145 y otra con centro en (1,5) y radio 5

c1: (x-21)^2 + (y-145)^2 = 145^2

c2: (x-1)^2 + (y-5)^2 = 5^2

Te dejo como ejercicio que calcules el cuadrado del radio y que las pongas en forma general si quieres, yo ya tuve bastente con averiguar la forma más sencilla de resolverlo.

Y eso es todo.