Ejercicio 3 ecuaciones diferenciales.

$$(4D^2+D+1)y(x)=x·e^{-x/2}$$

Primero hallamos la solución general de la ecuación homogénea, para ello hallamos las raíces del polinomio característico.

$$\begin{align}&4k^2+k+1=0\\ &\\ &k= \frac{-1\pm \sqrt{1-16}}{8}= \frac{-1\pm \sqrt{-15}}{8}\\ &\\ &y_h=e^{-x/8}\left(C_1cos \left(\frac {\sqrt{15}}{8}x\right)+C_2 sen \left(\frac {\sqrt{15}}{8}x\right)\right)\end{align}$$

Ahora debemos hallar una solución particular de la ecuación completa para sumarla a la general de la homogénea

Cuando la función del otro lado es un polinomio por una exponencial e^(ax) donde a no es raíz de la ecuación característica se prueba con un polinomio del mismo grado por esa exponencial

yc = (Ax+B)e^(-x/2)

yc' = -(1/2)(Ax+B)e^(-x/2)

yc'' = (1/4)(Ax+B)e^(-x/2)

4yc'' + yc' + yc = x·e^(-x/2)

(Ax+B - Ax/2 - B/2 +Ax + B)e^(-x/2) = x·e^(-x/2)

(3/2)Ax + (3/2)B = x

B=0

A = 2/3

Luego la solución particular de la completa es

yc = (2/3)e^(-x^2)

Y con todo esto la solución general de la completa es:

$$y_h=e^{-x/8}\left(C_1cos \left(\frac {\sqrt{15}}{8}x\right)+C_2 sen \left(\frac {\sqrt{15}}{8}x\right)\right)+\frac 23e^{-x/2}$$

Y eso es todo.