Álgebra, tema: permutaciones

Ya había contestado esta pregunta.

Pero voy a aprovechar para darte una respuesta un poco mejor a la pregunta 5.7 que decía

Muéstrese que para todo subgrupo Sn de H para n >=2, todas las permutaciones en H son pares o exactamente la mitad son pares.

No me gustó mucho cómo la respondí, ahora la he meditado mejor y es más sencilla la demostración.

Si todas las permutaciones son pares se cumple.

Veamos el caso de que alguna no sea, es decir:

Existe una permutación impar i € H

Sea I el conjunto de las permutaciones impares de H.

Y sea P el conjunto de las permutaciones pares de H.

Definamos esta aplicación:

f:  I ------->P

    j -------> ij

Está bien definida porque:

1) Ij es par porque i era impar y j es impar, y el producto da una permutación par.

2) Ij € P. Los elemento i y j pertenece a H. Como H es un subgrupo debe suceder ij € H, y como ij era par ij € P que son las permutaciones pares de H

Veamos que f es inyectiva, simplemente eso:

Sean dos elementos j, k € I tales que jf = kf, es decir:

ij=ik

Multiplicamos a la izquierda por i' que es el inverso de i

i'(ij) = i'(ik) ==>

(i'·i)j =(i'·i)k  ==>

ej = ek ==>

j = k

Luego es inyectiva.

Que f sea inyectiva implica que

|I| <= |P|

Ahora definimos otra aplicación g

g : P ------>I

     p ------->ip

Esta bien definida porque al ser i impar y p par se tiene que ip es impar.  Y como i, p € H, y H es un un subgrupo, ij € H.  Y dentro H pertenece a P que son las permutaciones pares de H.

Con idéntico razonamiento al anterior se demuestra que g es inyectiva, luego

|P|<=|I|.

Que unido al resultado anterior de |I|<=|P| significa

|P| = |I|

Y como toda permutación es par o impar significa que las permutaciones pares son exactamente la mitad que es lo que nos pedían demostrar.

Espero que te sirva y lo hayas entendido mejor que antes.