Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
Hola Experto tengo la siguiente pregunta de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales:
Para el Sistema Mecánico de la figura deduzca su Ecuación diferencial y resuélvala para k1=2, k2=1, m=5 Kg, U(t)= 10N
gráfico
1 Respuesta
No he hecho nunca (o no recuerdo, o es muy vago el recuerdo) un problema como este, mis estudios de física son de nivel preuniversitario y están completamente perdidos en alguna parte del cerebro. Todo lo que haré es por consultas de internet.
En algún sitio dice cuál es la constante para dos resortes en serie. Si la constante total del sistema es k se verifica
1/k = 1/k1 + 1/k2
1/k = 1/2+1/1 = 3/2
k = 2/3
En otros sitios da directamente el cálculo de k
k = 1/(1/k1 + 1/k2) = 1/(1/2 + 1/1) = 1/(3/2) = 2/3
La ley de Hooke dice
F = k·x donde x es la elongación
10 = 2/3·x
x = 10/(2/3) = 10·3/2 = 15
La Fuerza que ejerce ahora el resorte es proporcional a la posición del móvil, es por la teoría de resortes. Llamemos x a la función del tiempo que describe la posición del móvil. Y por la ley de Newton la suma de las fuerzas es la masa por la aceleración:
F = m·a = m·x'' = - mkx
El signo - porque cuando el móvil esta al lado derecho la fuerza tira hacia la izquierda y viceversa
x'' = -kx
x'' + kx = 0
x'' + 2x/3 = 0
La ecuación característica es
s^2 +2/3 = 0
s^2 = -2/3
s = +- i·sqrt(2/3)
s1= i·sqrt(2/3)
s2 = -isqrt(2/3)
Cuando una ecuación lineal homogénea de segundo orden tiene dos soluciones complejas conjugadas
a+bi
a-bi
en su ecuación característica, la solución de la ecuación es
e^(at)[C1·cos(bt)+C2sen(bt)]
en este caso
x(t) = e^(0·t)[C1·cos(t·sqrt(2/3)) + C2·sen(t·sqrt(2/3)]
x(t) = C1·cos(t·sqrt(2/3)) + C2·sen(t·sqrt(2/3)
Tengo que dejarlo de momento, ya lo terminaré pero lo mando ya para que esté seguro.
Espera que termine.
Hay que ponerle las condiciones iniciales para despejar esas variables. Consideramos instante cero aquel en que el muelle ya ha llegado al tope derecho por la fuerza inicial ejercida y se deja que funcione por su cuenta.
La elongación del muelle ha sido 15, luego
x(0) = 15
C1·cos(0) + C2·sen(0) = 15
C1 = 15
Y la velocidad en ese instante es cero. Para no andar con expresiones feas de escribir llamare s = sqrt(2/3)
v(t) = x'(t) = -C1·s·sen(s·t) + C2·s·cos(s·t)
v(0) = x'(0) = C1·sen(0) + C2·cos(0) = C2 = 0
Luego C1=15 y C2=0
La ecuación de movimiento es
x(t) = 15·cos[sqrt(2/3)·t]
O si se prefiere con aproximación decimal
x(t) = 15·cos(0.8164965809·t)
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no pide más explicaciones.
