Teorema de Cantor
Definición 1: Sea (M,p) un espacio métrico completo. Una función f: M--->M se dice contractiva, si y solo si, existe un número real L, positivo y menor que uno, tal que
p(f(x),f(y)) < Lp(x,y). Al tomar como base este concepto, responda la siguiente pregunta:
<h4>Para cualquier punto x € M, demuestre que la sucesión:</h4><h4> x,f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...,f(f(((...(f(x))...)))),... Converge a p. </h4>1 Respuesta
Llamemos xn a los elementos de esa sucesión tan difícil de expresar
x0 = x
x1 = f(x)
x2 = f(f(x))
x3 =f(f(f(x)))
...
tendremos
p(x2, x1) = p(f(x1), f(x0)) < L·p(x1,x0)
p(x3, x2) = p(f(x2), f(x1)) < L· p(x2,x1) = L^2·p(x1,xo)
y en general
p(x sub n+1, xn) < L^n·p(x1,x0)
Dados dos elementos xm y xn con m<n
$$\begin{align}&p(x_m,x_n)\le p(x_m,x_{m+1})+p(x_{m+1},x_{m+2})+...+p(x_{n-1},x_n)\le\\ &\\ &L^m·p(x_1,x_0)+L^{m+1}p(x_1,x_0)+...+L^{n-1}p(x_1,x_0)=\\ &\\ &(L^m+L^{m+1}+...+L^{n-1})p(x_1,x_0)=\\ &\\ &(1+L+...+L^{n-m-1})L^m·p(x_1,x_0) =\\ &\\ &\\ &\frac{1-L^{n-m}}{1-L}·L^m·p(x_1,x_0)\le\\ &\\ &\\ &\frac{L^m}{1-L}·p(x_1,x_0)\to 0\\ &\end{align}$$Luego la distancia tiende a cero cuando m tiende a infinito
Entonces dado un epsilon >0 tomaremos un m tal que
[L^m / (1-L)]p(x1,xo) < epsilon
Y todo par de elementos de la sucesión posteriores a xm tendrán distancia entre si menor que epsilon, por la cual la sucesión xn es de Cauchy, y por ser un espacio completo converge a un punto.
Luego x converge a un punto que llamaremos Qx, que de momento vamos a suponer que depende de x
Veamos que Qx es un punto fijo, es decir f(Qx) = Qx
Dado epsilon > 0 tomemos un numero N tal que
$$\begin{align}&p(Q_x, x_n)\lt \frac{\epsilon}2\quad \forall n \ge N\\ &\\ &p(Q_x,f(Q_x)) \le p(Q_x, x_{N+1}) + p(x_{N+1}, f(Q_x)) \lt \\ &\\ &\frac{\epsilon}{2} + p(f(x_N),f(Qx))\le \frac{\epsilon}{2}+L·p(x_N,Q_x) \lt\\ &\\ &\frac {\epsilon}2+L·\frac{\epsilon}{2}\lt \epsilon\end{align}$$Como la distancia Qx a f(Qx) es menor que cualquier epsilon >0 es cero y por lo tanto
Qx = f(Qx) por una de las propiedades que tienen las métricas.
Y finalmente veamos que dados dos puntos distintos x, y tienen el mismo límite Supongamos los límites son Qx y Qy. Por lo visto antes ambos son puntos fijos luego
p(Qx,Qy) = p(f(Qx),f(Qy)) < L·p(Qx,Qy)
simplificando el primer y ultimo, teniendo en cuenta que p es siempre positiva
1 < L
Absurdo ya que era 1>L
Luego Qx=Qy y existe un único punto fijo que es el límite de todas las sucesiones de ese tipo que comiencen por cualquier elemento
Y eso es todo.
