Explicación ejercicio 28 pagina 153

La función es

f(x) = x^p·sen(1/x) si x <>0

0 si x=0

para qué enteros p>0 es diferenciable y para cuáles es continua la derivada

En los puntos x <> 0 no hay ningún problema, la derivada es

$$f '(x) = px^{p-1}sen(1/x) - \frac{x^p·\cos(1/x)}{x^2}$$

existe y es continua

En x^0 la derivada es

$$\begin{align}&f'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{h^p \cos(1/h)-0}{h}=\\ &\\ &\lim_{h\to 0}h^{p-1}\cos(1/h)\end{align}$$

cos(1/h) estará siempre variando entre -1 y 1. La única forma de que existe el limite es si el factor h^(p-1) tiende a 0. Basta con que p>1 para que haya derivada y la derivada será 0. Si p fuese 1 sería h^0 =1 y no habría límite

Y para que la derivada sea continua el límite de la derivada en x=0 debe ser 0 ya que ese sería el valor de la derivada

$$\begin{align}&\lim_{x\to 0} \left[px^{p-1}sen(1/x) - \frac{x^p·\cos(1/x)}{x^2}\right]=0\\ & \\ &\lim_{x\to 0} \left[px^{p-1}sen(1/x) - {x^{p-2}·\cos(1/x)}\right]=0\end{align}$$

Para que los senos y cosenos no oscilen ambos sumandos deben tender a cero. Para que lo haga el primero debe ser p>1 y para que lo haga el segundo debe ser p>2. Luego para que la derivada exista y sea continua debe ser p>2

Y eso es todo.