Ejercicio de diagonalización duda a la hora de sacar los vectores propios

Ahora tienes que resolver el sistema de ecuaciones homogéneo que surge al cambiar x por el valor propio, es decir:

(A-X*)v=0

Y eso debes hacerlo para cada valor propio

Para el valor propio 1 queda el sistema

-6  2  6 | 0
 0 -4  0 | 0
-2  2  2 | 0
simplificando y reordenando
-1  1  1 | 0
-3  1  3 | 0
 0 -2  0 | 0
La primera por -3 se suma a la segunda.
Y después segunda se suma a tercera
-1  1  1 | 0
 0  2  0 | 0
 0  0  0 |0

La solución es y=0, x=z.

Luego tomamos un vector que cumple eso (1,0,1)

Para el valor propio -3 el sistema que queda es

-2  2  6 | 0
 0  0  0 | 0
-2 2 6 | 0

La primera fila es igual que la última, luego solo queda una ecuación válida que podemos simplificar a

-x +y + 3z = 0

Se pueden tomar 2 parámetros es un espacio propio de dimensión 2, los tomaremos de tal forma que los vectores sean independientes.

Para el primer vector damos valores y=1; z=0

con lo cual -x +1 = 0 ==> x= 1

Y el vector propio es (1,1,0)

Y para el segundo hacemos y=0, z=1

-x +3 = 0 ==> x=3

con lo cual el vector propio es (3,0,1)

Es diagonalizable porque la suma de las dimensiones de los subespacios propios es la dimensión total. O si lo prefieres porque hemos encontrado tres vectores propios.

La matriz diagonal D tiene los valores propios en la diagonal

 1  0  0
 0 -3  0
0 0 -3

Y la matriz de paso P tiene como columnas los vectores propios en el mismo orden que D

1  1  3
0  1  0
1  0  1

Y eso es todo.