Demostrar dados a,b se tiene que senh(a+b)=senh(a)cosh(b) + cosh(a)senh(b)

Nosotros abreviábamos con sh y ch

sh(a+b) =sha·chb+cha·shb

Tomemos la definición y calcularemos ambos lados.

$$\begin{align}&sh(a+b)=\frac{e^{\,(a+b)}+e^{(-a-b)}}{2}\\ &\\ &\\ &--------\\ &\\ &sha·chb+cha·shb=\\ &\\ &\left(\frac{e^a-e^{-a}}{2}  \right)\left( \frac{e^b+e^{-b}}{2} \right)+\left(\frac{e^a+e^{-a}}{2}  \right)\left(\frac{e^b-e^{-b}}{2}  \right)=\\ &\\ &\frac{e^{(a+b)}+e^{(a-b)}-e^{(-a+b)}-e^{(-a-b)}+e^{(a+b)}-e^{(a-b)}+e^{(-a+b)}-e^{(-a-b)}}{4}=\\ &\\ &\frac{2e^{(a+b)}-2e^{(-a-b)}}{4}=\frac{e^{(a+b)}-e^{(-a-b)}}{2}\end{align}$$

Luego los dos lados son iguales y es cierto el enunciado.

Y eso es todo.