Solución ejercicio 8 pagina 406

Cada diferencial de masa será el volumen del diferencial por la densidad en ese diferencial.

No identifico yo la figura que se forma. Y no tengo programa que me dibuje el cilindro en tres dimensiones, Cuando falta la z en la ecuación se hacen los despistados.

Bueno pues haremos la proyección sobre el plano z= del cilindro

x^2+y^2 = 2x

x^2 - 2x + y^2 = 0

(x-1)^2 - 1 + y^2 = 0

(x-1)^2 + y^2 = 1

Esto es una circunferencia de centro (1,0) y radio 1.

Entonces es sobre este circulo sobre el que hay que integrar la función del cono. El cono es un cono doble, hay que integrar entre la hoja superior y la inferior que son

z = -sqrt(x^2+y^2)

z = sqrt(x^2+y^2)

$$\begin{align}&V=\int_0^2\int_{-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{1-(x-1)^2}}\int_{-\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{x^2+y^2}}\sqrt{x^2+y^2}dzdydx=\\ &\\ &\int_0^2\int_{-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{1-(x-1)^2}}\left.\sqrt{x^2+y^2}\;z  \right|_{-\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{x^2+y^2}}dydx=\\ &\\ &\int_0^2\int_{-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{1-(x-1)^2}}\sqrt{x^2+y^2}\left(2 \sqrt{x^2+y^2}  \right)dydx =\\ &\\ &2\int_0^2\int_{-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{1-(x-1)^2}}(x^2+y^2)dydx=\\ &\\ &2\int_0^2\left[x^2y+\frac{y^3}{3}  \right]_{-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{1-(x-1)^2}}dx=\\ &\\ &4\int_0^2 \left(x^2 \sqrt{1-(x-1)^2}+\frac{[1-(x-1)^2]\sqrt{1-(x-1)^2}}{3}\right)dx=\\ &\\ &4\int_0^2 \sqrt{1-(x-1)^2}\left(\frac{3x^2+1-x^2-1+2x}{3}\right)dx=\\ &\\ &\frac 83\int_0^2 \sqrt{1-(x-1)^2}(x^2+x))dx=\\ &\\ &x-1=sen\,t\quad dx=cost\,dt\\ &t=arcsen(x-1)\\ &x=0\implies t=-\frac{\pi}{2}\\ &x=2\implies t=\frac {\pi}{2}\\ &\\ &=\frac 83\int_{-\pi/2}^{\pi/2} cost[(1+sent)^2+(1+sent)]cost\,dt=\\ &\\ &\frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2t(sen^2t+3sent+2)dt=\\ &\\ &\frac 83 \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[\left(\frac{sen(2t)}{2}\right)^2+3sent·\cos^2t +2cos^2t\right]dt=\\ &\\ &...\\ &\\ &\end{align}$$

Y lo dejo aquí, el ordenador ya no responde, se bloquea cuando se escribe mucho en el editor de fórmulas. Precisamente por eso he hecho a veces varias cosas en el mismo paso. Lo que queda son tres integrales que se saben hacer, primera y tercera por las formulas trigonométricas

sen^2(a) = (1-cos(2a))/2

cos^2(a) = (1+cos(2a))/2

y la segunda con el cambio z=cost

Y eso es todo.