Límite 2 para valeroasm

lim x-->+oo de [(x-1)/(x-2)]^(2x)

El límite de la base es 1 ya que cuando numerador y denominador tienen el mismo grado se dividen los coeficientes de grado mayor que son 1 y 1 en este caso

Y el exponente tiende a infinito. Luego tenemos el límite 1^(+oo) que se resuelve con el número e

En este caso la definición que sirve es la de

e = lim n -->+oo de (1 + 1/n)^n

Lo primero es poner la base en la forma 1 + algo, fíjate abajo como se cumple esa igualdad

a/b = 1+ (a-b)/b

luego en nuestro caso

(x-1)/(x-2) = 1 + [x-1-(x-2)]/(x-2) = 1 + (x-1-x+2)/(x-2) = 1 + 1/(x-2)

luego lo que tenemos es

[1 + 1/(x-2)]^(2x) =

Y ahora consiste en lo mismo de antes, hacer que el exponente contenga el inverso de lo que hay detrás del 1 en la base, es decir, que tenga (x-2).

Para ello hay una solución muy fácil, se multiplica y divide el exponente por (x-2)

= [1 + 1/(x-2)] ^[2x(x-2)/(x-2)] =

y ahora hay que aplicar lo de

a^(bc) = (a^b)^c

Dejaremos en el primer exponente el (x-2) y en el segundo el resto

= {[1 + 1/(x-2)] ^(x-2)} ^[2x/(x-2)]

Y al tomar límites tendremos que lo que está entre llaves corresponde a la definición del número e y el segundo exponente también tendrá un límite determinado en el +oo que se calcula y en este caso será 2

lim x-->+oo de {[1 + 1/(x-2)] ^(x-2)} ^[2x/(x-2)] = e^2

Y eso es todo.