A y B dos conjuntos no vacíos en R.
Hola! Ojalá me puedas ayudar con esto:
Sean A y B dos conjuntos no vacíos de números reales con la propiedad de que x <= y para todo x en A, e y en B. Pruébese que existe un número c en Reales tal que x <= c <=y para todo x en A e y en B. Encuéntrese un contra-ejemplo a este enunciado para números racionales.
Gracias.
1 respuesta
Tomemos el sup(A) y el inf(B)
Se cumple sup(A) <= inf(B) ya que si sup(A) > inf(B) tomemos la diferencia
Sup(A) - Inf(B) = e
Existe x € A t.q. Sup(A)-x <e/2. Si no Sup(A)-e/2 sería cota superior de A, absurdo
Existe y € B t.q. y-Inf(B)<e/2. SI no Inf(B)+e/2 sería cota inferior de B, absurdo
Sustituimos Sup(A) por e+Inf(B) en el primer existe
e+Inf(B)-x < e/2
y sumamos el segundo
e+Inf(B)-x +y -Inf(B) < e/2+e/2 = e
e-x+y < e
-x+y < e
x > y
Lo cual contradice las condiciones del enunciado que decí que todo elemento de A era <= que uno de B.
Luego se cumple Sup(A)<=inf(B) tomemos c como cualquiera de los valores intermedios que haya o el mismo valorsi son iguales y se cumplirá
x<=c<=y para todo x€A, y€B
En los racionales. Entre dos irracionales distintos siempre hay un racional, luego ola única forma de que no se cumpla eso es que sup(A) = Inf(B) y sean un número irracional. El que mejor conocemos es raíz de 2. Asi que definamos estos conjuntos
A = {x € Q| x^2 <=2}
B = {y € Q| x^2 >= 2}
y no existe ningún c € Q tal que x <=c<=y para todo x€A, y€B
Y eso es todo.
En la prueba con los reales, ¿Cuál es el objetivo de la relación entre sup(A) e inf(B)?, en pocas palabras. Gracias.
Perdona, no entiendo que quiere decir la pregunta. ¿Podrías expresarla de otra forma siendo un poco más concreta?
que porqué tomas Sup(A) e inf(B) y esa relación?
Si hay que encontrar un elemento c que esta en medio de los dos conjuntos lo más indicado es hallar el mayor elemento de A y el menor de B, si hay algún elemento intermedio tendrá que estar entre esos dos números.
