Grupos abelianos finitamente generados

PARTE 1. No cíclico ==> contiene subgrupo isomorfo a Zp x Zp

LLamemos G al grupo

Por el lema 9.3, G será isomorfo a unos productos directos de grupos Zni donde cada ni será de la forma pi^ki con pi primo.

Si todos los pi son distintos el producto directo nos da un grupo cíclico con orden el del grupo G, porque los pi serán primos entre si y entonces el producto directo es un grupo cíclico.

Luego algún pi debe estar repetido, llamémoslo p, habrá algún

Z(p^n) x Z(p^m)

En la descomposición.

Lo que hay que demostrar que Zp x Zp es un subgrupo de Z(p^n) x Z(p^m) y eso no lo veo tan fácil de demostrar ahora.

LO PENSARE, mientras hago la demostración en el otro sentido que es más fácil.

Ya estoy aquí de nuevo.

Si n=m=1 ya está demostrado.

Dado Z(p^j) = {0, 1, ..., p,..., p^2, ..., p^3, ...,p^(j-1),...., (p^j) - 1}

Tomemos el elemento p^(j-1), si j fuese 1 tomemos el elemento 1

El grupo generado por este elemento tiene orden p.

Aquí nos vamos a liar porque el exponente de p^(j-1) es un exponente auténtico (de la operación exponenciación en Z), es p multiplicado (j-1) veces por si mismo

Mientras que el exponente de la operación del grupo es un falso exponente equivalente a suma del elemento consigo mismo las veces que diga el exponente. Asi que mejor ponemos el grupo que genera con notación de operaciones en Z

<p^(j-1)> = {p^(j-1), 2p^(j-1), ..., pp^(j-1)} isomorfo a Zp

El ultimo de ellos es p^j que es el elemento neutro de Z(p^j)

Y si j=1 tomábamos el elemento 1

<1> = {1, 2, 3, ..., p} con p el elemento neutro de Zp

Pues ahora, dado el grupo Z(p^n) x Z(p^m) tomamos el elemento

(p^(n-1), p^(m-1))

<(p^(n-1), p^(m-1))> = {(<p^(n-1)>, <p^(m-1)>) isomorfo a Zp x Zp

Recapitulemos todo:

El grupo G es isomorfo a H = Z(p^n) x Z(p^m) x Za1 x Za2 x ···· x Zaj para algún p, n y m. Donde los grupos Zai son los originales ni = pi^ki salvo p^n y p^m.

El subgrupo d H <(c, d, e1, e2, e3, ..., ej)} donde c € Z(p^n), d € Z(p^m) y ei es el elemento neutro de Zai, es isomorfo a Z(p^n) x Z(p^m)

Y hemos demostrado que Z(p^n)xZ(p^m) tiene un subgrupo isomorfo a Zp x Zp

Los isomorfismos transforman subgrupos en subgrupos, lo mismo que los inversos de los isomorfismos. Luego la imagen inversa de Zp x Zp nos dará un subgrupo isomorfo en Z(p^n) x Z(p^m), haciendo el producto directo de este subgrupo con la identidad de los Zai nos dará un grupo isomorfo en H y la imagen inversa nos dará un subgrupo isomorfo en G.

No sé si me explique bien, a lo mejor me entretuve mucho en obviedades para ti.

PARTE 2. Contiene subgrupo isomorfo a Zp x Zp con p primo ==> no cíclico.

El grupo Zp x Zp no es cíclico porque tomemos el elemento que tomemos al operarlo p veces nos dará el elemento neutro de Zp x Zp

(a^n, b^n) = (e,e)

Un isomorfismo de grupos conserva la propiedad de ser cíclico o no (página 70), luego ese subgrupo de G que isomorfo a Zp x Zp, no es cíclico.

Y en el capítulo de los grupos cíclicos se decía en el teorema 6.2 que todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Luego G no puede ser cíclico porque caeríamos en el absurdo.

Y eso es todo.

Gracias por todo...un abrazo