Si (xn) una sucesión acotada
Si (xn) una sucesión acotada y para cada n perteneciente a N, sea Sn:= sup{xk:k=>n} y S:=inf{sn}. Demostrar que existe una subsucesion de (xn) que converge a S.
1 respuesta
Sea Cn el conjunto
Cn = {xk | k >= n}
Se cumple
C1 contiene a C2 contiene a C3 contiene a C4...
luego sup(C1) >= sup(C2) >= sup(c3) .....
Estos supremos son la sucesión Sn que nos dicen. Luego Sn es una sucesión monótona decreciente, y además es una sucesión acotada porque nos lo dicen.
Por un teorema que aparece en casi todos los libros Sn es una sucesión convergente que converge a S. En efecto, dado un épsilon >0 tendremos
S + epsilon no es cota inferior de Sn porque S es la mayor cota inferior (por definición de ínfimo), luego existe un número m tal que
S <= Sm < S+epsilon
entonces para todo n>m tendremos
S-epsilon < S < Sn <= Sm < S+epsilon
Quedándonos con lo sustancial
S-Epsilon < Sn < S+épsilon para todo n>m
Luego S es el límite de Sn y la propia Sn es la subsucesión que converge a S.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame, y si ya está bien no olvides puntuar. Te recuerdo que será muy difícil que alguien te conteste una pregunta con muchos ejercicios, ya que tendrá que hacer mucho trabajo para obtener una sola puntuación.
Muchas Gracias por tu ayuda.... si fue algo tedioso escribir todos ejercicios es que tengo un parcial de análisis matemático y saldrán de esos ejercicios agradezco su ayuda :D !!!!
