Aplicación de la derivada 3

Las rectas tendrán un vector director (a, b) con lo cual su ecuación vectorial será

r: (14,2) + t(a,b) = (14+at , 2+bt)

Si a fuera cero tendríamos puntos

(14, 2+tb)

y entonces no habría intersección con la circunferencia ya que

14^2 + (2+tb)^2 = 196+ (2+tb)^2 > 100

Luego a no puede ser cero con lo cual podemos dividir entre a las coordenadas del vector y será

(a/a, b/a) = (1, b/a)

que podemos expresar com (1, c)

Luego en resumen el vector director de las rectas será (1, c) y los puntos tendrán la expresión

(14+t, 2+ct)

Ahora calculemos la intersección con la circunferencia

(14+t)^2 + (2+ct)^2 = 100

196 + 28t + t^2 + 4 + 4ct + c^2t^2 = 100

(1+c^2)t^2 + (28+4c)t+ 100 = 0

y la solución será

$$t = \frac{-28-4c\pm \sqrt{(28+4c)^2-400(1+c^2)}}{2+2c^2}$$

Lo único que nos interesa de esa ecuación es que debe haber una sola respuesta para que la intersección recta circunferencia sea un solo punto y entonces son tangentes. Y hay respuesta única cuando el discriminante es nulo, luego es necesario que

(28+4c)^2 - 400(1+c^2) = 0

784 + 224c + 16c^2 - 400 - 400c^2 = 0

-384c^2 + 224c + 384 = 0

384c^2 - 224c - 384 = 0

se puede simplificar entre 32

12c^2 - 7c - 12 = 0

c = [7 +- sqrt(49 + 576)] /24 =

[7 +- sqrt(625)] / 24 =

(7 +- 25) / 24 =

32/24 y -18/24 =

4/3 y -3/4

Luego los vectores de las tangentes son

(1, 4/3) y (1, -3/4)

podemos hacerlos enteros multiplicando por el denominador

(3, 4) y (4, -3)

y las ecuaciones son

r1: x = 14 + 3t

y = 2 + 4t

r2: x = 14 + 4t

y = 2 - 3t

Y eso es todo.