Ayuda con Problema de Probabilidades por favor ?
Espero alguien me pueda ayudar con la solución de este problema de
Probabilidades que siempre viene en mis Exámenes y hasta ahora no doy
con la solución ni nadie que lo resuelva:
Sobre un segmento OA de longitud L se marcan aleatoriamente dos puntos B y C.
Hallar la Probabilidad de que los segmentos obtenidos sean lados de un triángulo.
Ayudenme por favor, le agradeceré infinitamente alguien quien pueda explicarme la solución detallada
Gracias!
1 respuesta
Para que los lados sean de un triangulo debe cumplirse que ninguno de ellos mida más que entre los otros dos.
Puede ser un triángulo en dos casos:
Si B < C los segmentos serán OB, BC, CA
Si B > C los segmentos serán OC, CB, BA
Para poder usar números hacemos OA = 1, ello significa que ningún segmento puede medir más de 1/2
S se da el primer caso B < C el punto B desde estar en (0, 1/2) para que OB no mida más de un 1/2 y el punto C debe estar en (1/2,B+1/2) para que ni BC ni CA midan más de 1/2
La probabilidad de (B<C) y triangulo es
$$\begin{align}&P=\int_0^{\frac 12}\int_{\frac 12}^{x+\frac 12}dy\,dx=\\ &\\ &\int_0^{\frac 12}y|_{\frac 12}^{x+\frac 12}dx=\int_0^{\frac 12}\left(x+\frac 12 -\frac 12\right)dx=\\ &\\ &\int_0^{\frac 12}x dx=\left. \frac {x^2}{2} \right|_0^{\frac 12}= \frac 18\end{align}$$Y la del segundo caso es la misma, haciendo una reflexión de los puntos del segmento respecto a la mediatriz se resuelve con la misma integral.
Luego
P(Triangulo) = P[(B<C) y tríangulo] + P[(B>C) y triángulo] = 1/8 + 1/8 = 1/4 = 0.25
Nótese que no se debe caer en la tentación de multiplicar por 1/2 las probabilidades calculadas en la integral. Por la forma que se ha calculado la integral, esa probabilidad de 1/8 ya incluye el hecho de que B sea menor que C ya que x solo se integfró entre 0 y 1/2 y la variable y entre 1/2 y lo que se podía.
Hola,
Muchas Gracias por la Respuesta,
Es muy buena la solución, aunque hasta este tema que vino en mi Examen no vimos el tema de Integrales aun, pero si es la efectiva solución entonces le agradezco nuevamente voy a anotarla en mi cuaderno. También encontré luego de buscar bastante esta solución sin utilizar integrales, no se que le parecerá: <a>http://towardsthelimitedge.blogspot.com/2009/09/probabilidad-de-obtener-un-triangulo.html</a>
Le voy a dejar muy buena puntuación por su gentil ayuda.
Gracias!
Esta bien el método, pero creo que es muy rebuscado y podrían haber explicado un poquitito más. Si hubieras estudiado teoría de la probabilidad, integral por aquí e integral por allá no se te ocurriría otra forma que la que he hecho. Intenté hacerlo sin integrales pero no me salía.
