Urge ejercicio d ecuación diferencias cap,13

Hallemos las raíces de la ecuación característica

k^2 - 6k - 900 = 0

k=[6 +- sqrt(36+3600)] / 2 =

[6 +- sqrt(3636)] / 2 =

[6 +- sqrt(36·101)] / 2 =

[6 +- 6·sqrt(101)] / 2

k1 = 3-3·sqrt(101) y

k2 = 3+3sqrt(101)

Son raíces reales y distintas, la solución general de la homogénea es

y = A·e^(k1·x) + B·e^(k2·x)

Donde A y B son constantes reales.

Y ahora debemos hallar una solución particular de la ecuación diferencial completa, que sumada a la solución general de la homogénea nos dará la solución general de la ecuación diferencial completa.

En los casos en los que la función de la derecha es un polinomio por una exponencial se prueba como solución particular con un polinomio del mismo grado por la exponencial

Luego probamos con

y=C·e^(10x)

y' = 10C·e^(10x)

y'' = 100C·e^(10x)

y hacemos que cumpla la ecuación diferencial

100Ce^(10x) - 60Ce^(10x) -900Ce^(10x) = 5e^(10x)

(100-60-900)Ce^(10x) = 5e^(10x)

-860Ce^(10x) = 5e^(10x)

-860C = 5

C = -5 / 860 = -1/172

Luego la solución particular de la ecuación completa es

y =-(1/172)e^(10x)

Y la solución de la la ecuación completa es

y = A·e^(k1·x) + B·e^(k2·x) - (1/172)e^(10x)

Donde A y B son las constantes que pueden variar en todo R y k1 y k2 son los número s que calculamos arriba

k1 = 3-3·sqrt(101)
k2 = 3+3sqrt(101)

$$y=Ae^{(3-3 \sqrt{101})x}+Be^{(3+3 \sqrt{101})x}-\frac{e^{10x}}{172}$$

Y eso es todo.