¿Cómo se resuelven estos ejercicios?
Diga si es verdadero o falso y justifique su respuesta:
1.Existe una función f tal que f(0) =1, f(2)=3, y f ' (x) > 1 para todo x E[0,2].
2.No existe ninguna función f tal que f = f^-1
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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1) Supongo que quieres decir una función continua en [a,b] y derivable en (0,2).
No, no existe.
Considera la función
g(x) = f(x) - x -1
g(0) = 1-0-1 = 0
g(2) = 3 -2 - 1 = 0
g es continua en [0,2] y derivable en (0,2)
g'(x) = f '(c) -1
Por el teorema de Rolle existe al menos un punto c E(0,2) donde g'(c)=0
Link wikipedia Teorema de Rolle
Luego
g'(c) = f '(c) - 1 = 0
f '(c) = 1
Pero esto es absurdo porque f'(x) > 1 para todo x E (0,2), luego no existe esa función f.
2) Si, claro. La función identidad
f(x) = x
f^-1(x) = x
Y eso es todo.
