Permutaciones- Álgebra Moderna

Pues aquí van algunas de las respuestas

a) Verdadero, prácticamente por definición.

b) Falso, puedes considerar miles de ejemplos de funciones que son uno a uno y no son permutaciones, por ejemplo, las funciones que van de los reales en los reales como f(x)=x+2 o g(x)=x^3.

c) Falso, puedes considerar una función constante, por ejemplo la funcion que manda {1, 2, 3} en 1.

d) Falso, en general, los grupos de permutaciones no son abelianos.

e) Verdadero, en un grupo abeliano todos los elementos conmutan, por lo tanto, cualquier subgrupo estara formado por elementos que originalmente conmutaban.

f) Verdadero, tiene sentido operar cualquier elemento consigo mismo y su inverso, y observar los valores que va tomando, es fácil observar que el conjunto de los valores que tomará cumple las condiciones para ser subgrupo. Por ejemplo, contiene al neutro del grupo ya que es resultado de operar al elemento con su neutro una sola vez.

g) Falso, la cardinalidad del grupo simetrico de orden n es n!, en este caso S10 tiene 10! Elementos, es decir, 3628800 elementos.

h) Falso, si tomamos una permutacion en S3, podemos observar que no genera a cualquier otra, basta con observar como se comportan cada una de las permutaciones en S3, son sólo 6.

i)Verdadero, en general, no es cíclico, lo podemos ver en el ejemplo anterior.

j) Esta me parece un poco más complicada, pero a mi me parece que es falsa. Considera los reales con su suma, este es un grupo, y su cardinalidad es mucho mayor que la de cualquier grupo simétrico, aún así, habría que trabajar más en la prueba. Si resulta que los reales si pueden ser isomorfos a un grupo simétrico, podemos construir siempre conjuntos más grandes, como los complejos o espacios vectoriales de dimensión n. Los grupos simétricos, definidos como el conjunto de funciones biyectivas en un conjunto de naturales, no pueden ser isomorfos a estos conjuntos.

Espero que mi respuesta haya sido de utilidad, quedo aquí para cualquier aclaración. De hecho, la teoría de grupos me gusta, así que si tienes algunos otros ejercicios, no dudes en consultarme jeje.