Solución ejercicio 5 pagina 337

El frente lo pondremos en los puntos (0,0) y (6,0) del dominio, la parte trasera en los puntos

(0,12) y (6,12)

Esas son las proyecciones de los 4 vértices sobre el plano z=0

Para determinar la ecuación del plano que hace de techo tomemos un punto y dos vectores (o 3 puntos) del techo

Los puntos serán A(0,0,9), B(6,0,9) y C(0,12,12)

El vector AB es (6,0,0) Mejor tomamos el (1,0,0)

El vector AC es (0,12,3) Mejor tomamos el (0.4,1)

Calculamos la ecuación del plano con el punto A y los dos vectores

|x y z-9|

|1 0 0 | = 0

|0 4 1 |

0x - y + 4(z-9) =0

-y +4z -36 = 0

4z = y+36

z =y/4 +9

$$\begin{align}&V =\int_0^6\int_0^{12}\left(\frac y4+9\right)dydx=\\ &\\ &\\ &\int_0^6 \left[\frac{y^2}{8}+9y\right]_0^{12}dx=\\ &\\ &\int_0^6 \left(\frac{144}{8}+108\right)dx=\\ &\\ &\int_0^6 \frac{144+864}{8}dx=\int_0^6 126dx=\\ &\\ &126(6-0)= 756\end{align}$$

Y eso es todo.