Álgebra de Grupo
Consideremos los enteros módulo 6, esto es Z(6)={0,1,2,3,4,5}.
a) Construya la table de la suma de Z(6)={0,1,2,3,4,5}, compruebe que Z(6)={0,1,2,3,4,5} es un grupo. ¿Es abeliano? ¿Qué característica observa en la tabla, en caso de que Z(6) sea abeliano?
b) Encuentre, si es posible, un subgrupo de Z(6)={0,1,2,3,4,5} de orden 2.
Disculpe las dos preguntas pero es que me urgue las resopuestas, por favor
1 Respuesta
La tabla de la suma será
0 1 2 3 4 5
------------------------
0 | 0 1 2 3 4 5
1 | 1 2 3 4 5 0
2 | 2 3 4 5 0 1
3 | 3 4 5 0 1 2
4 | 4 5 0 1 2 3
5 | 5 0 1 2 3 4
Es una operación interna
{0,1,2,3,4,5} x {0,1,2,3,4,5} ----> {0,1,2,3,4,5]
Tiene elemento neutro el 0, como puede verse
a+0 = 0+a = a
Todo elemento tiene inverso
0+0 =0 El 0 es inverso de si mismo
1+5 = 5+1 = 0 El 1 y el 5 son inversos
2+4 =4+2 = 0 El 2 y el 4 son inversos
3+3 = 0 El 3 es inverso de si mismo
La más complicada es la propiedad asociativa. Después de cada operación se resta 6 si el resultado es superior a 6, con lo cual resumiendo la maraña de combinaciones posibles tendremos:
(a+b)+c =
a+b+c si a+b+c < 6
a+b+c-6 si 6 <= a+b+c < 12
a+b+c-12 si 12 <= a+b+c
Un resultado que es independiente del orden de las operaciones ya que la suma en Z es asociativa y por lo tanto a+(b+c) da los mismos resultados que estos.
Luego Z(6) es un grupo
Si, es un grupo abeliano. La característica que lo identifica es que la tabla es simétrica respecto la diagonal principal. Si fuera una matriz diríamos que ees igual a su transpuesta.
b)
El grupo de orden 2 es G={0.3}
Vemos que es una operación interna
0+0 = 0
0+3 = 3
3+0 = 3
3+3 = 6
Vemos que tiene el elemento neutro 0
Y vemos que todo elemento tiene su inverso ya que
0+0 = 0
3+3 = 6
Lugo G es un subgrupo de Z(6) de orden 2.
Y eso es todo.
