Como se resuelve la ecuación tgz=3i

Habrá que usar la definición de la tangente como seno entre coseno

$$\begin{align}&tgz = \frac{senz}{cosz}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\div \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\\ &\\ &\\ &\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}=\frac{e^{2iz}-1}{i(e^{2iz}+1)}=3i\\ &\\ &\\ &e^{2iz}-1=-3e^{2iz}-3\\ &\\ &4e^{2iz}=-2\\ &\\ &e^{2iz} = -\frac 12\\ &\\ &2iz = log\left(-\frac 12  \right)\\ &\\ &\\ &z =\frac 1{2i}log \left(-\frac 12  \right)=-\frac i2 log\left(-\frac 12  \right)=\\ &\\ &-\frac i2(-log2+i\pi) = \frac{\pi}{2}+log \sqrt 2 \;i\\ &\end{align}$$