Utilizando el criterio de la segunda derivada hallar extremos relativos F("X")=-3x^5+5x^3

Los posibles extremos relativos estarán en los puntos donde la derivada se anula. Y la derivada segunda nos dirá si son máximos o mínimos.

Algunas veces la derivada segunda no es suficiente y hay que examinar las derivadas sucesivas para determinarlo.

f '(x) = -15x^4 + 15x^2 = 0

Tenemos en primer lugar la solución x=0

Simplificando x^2 queda

-15x^2 +15 = 0

-15x^2 = -15

15x^2 = 15

x^2 = 1

x = 1 y -1

Luego los posibles extremos son 0, 1 y -1

Calculamos la derivada segunda

f ''(x) = -60x^3 + 30x

Para x=-1

f ''(-1) = 60 - 30 = 30 > 0

Luego x=-1 es un mínimo y el valor de la función es

f(-1) = 3 - 5 = -2

El punto (-1, -2) es mínimo relativo

Para x= 1

f ''(1) = -60 + 30 = -30 < 0

luego x=1 es un máximo relativo y el valor de la función es

f(1) = -3+5 = 2

El punto (1, 2) es máximo relativo.

Para x= 0

f ''(0) = 0+0 = 0

Aquí el criterio es:

Si la primera derivada no nula es impar será un punto de inflexión.

Si la primera derivada no nula es par será máximo si el valor es negativo y mínimo si es positivo

f '''(x) = -180x^2 + 30

f '''(0) = 30 distinto de cero

Como la primera derivada no nula es impar, es un punto de inflexión.

Y eso es todo.