Determinar asíntotas función
Hola experto le escribo otra vez para que me revise el siguiente ejercicio:
Determine las asíntotas de la gráfica de la función f, definida para x no igual a -1, por:
$$f(x)= \frac{3x^2}{x+1}$$Me da de asíntotas verticales -1.
No hay asíntotas horizontales porque tienden a infinito.
Y de oblicua: y = 3 x-3.
Muchas gracia y saludos.
1 Respuesta
Las asíntotas verticales están en los puntos finitos donde el límite de la función se hace infinito. En esta función solo se cumple eso cuando el denominador tiende a cero. Y eso es el punto x=-1, luego la ecuación de la asíntota vertical es x=-1
Las asíntotas horizontales son el límite cuando la función tiende a infinito si este límite es finito. El límite de esta función en -infinito es -infinito y en +infinito es +infinito luego no hay asíntotas horizontales.
Las asíntotas oblicuas son las rectas y=mx+b tales que el limite de la función menos la recta en +infinito o -infinito es cero. Se calculan así:
$$\begin{align}&m=\lim_{x \to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}\\ &\\ &\\ &m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\frac{3x^2}{x+1}}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x^2}{x^2+x}=3\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &b=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx)\\ &\\ &b=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{3x^2}{x+1}-3x\right)=\\ &\\ &\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{3x^2-3x^3-3x}{x+1}\right)=\\ &\\ &\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{-3x}{x+1}\right)=-3\\ &\end{align}$$Luego la asíntota horizontal es
y=3x-3
¡Luego lo tenías todo bien, enhorabuena!
Y eso es todo.
